振幅,频率,波数,相移gydF4y2B一个
振幅gydF4y2B一个,gydF4y2B一个频率gydF4y2B一个,gydF4y2B一个波数gydF4y2B一个,gydF4y2B一个相移gydF4y2B一个的属性gydF4y2B一个波gydF4y2B一个控制它们的身体行为gydF4y2B一个
的最一般的解决方案中描述了一个单独的参数gydF4y2B一个波动方程gydF4y2B一个.这些特性共同解释了诸如响度、颜色、音调、衍射和干涉等广泛的现象。gydF4y2B一个
内容gydF4y2B一个
波量的推导gydF4y2B一个
以某种物理量传播的波gydF4y2B一个 服从波动方程:gydF4y2B一个
在哪里gydF4y2B一个 是波的速度。这个方程的解写成右行波和左行波的线性叠加。这些函数可以是任意形式的函数gydF4y2B一个 和gydF4y2B一个 .gydF4y2B一个
一组简单的例子就是所谓的gydF4y2B一个谐波治理gydF4y2B一个,它们是正弦曲线:gydF4y2B一个
在哪里gydF4y2B一个 波的振幅是和吗gydF4y2B一个 和gydF4y2B一个 是一些常数。gydF4y2B一个
使用gydF4y2B一个三角函数求和规则gydF4y2B一个,此解也可以写成:gydF4y2B一个
为gydF4y2B一个 一个新的常数叫做gydF4y2B一个振幅gydF4y2B一个,gydF4y2B一个 一个常数叫做gydF4y2B一个波数gydF4y2B一个,gydF4y2B一个 一个常数叫做gydF4y2B一个相移gydF4y2B一个.根据上面的方程,gydF4y2B一个 给出了海浪的最大高度,gydF4y2B一个 描述了波的振荡间隔有多紧,以及gydF4y2B一个 描述正弦函数在时刻是如何向左或向右移动的gydF4y2B一个 .的波数gydF4y2B一个 是与gydF4y2B一个波长gydF4y2B一个用下列方法描述波的相邻峰之间的距离:gydF4y2B一个
为了证明这是正确的,请注意当正弦函数的辐角变化为gydF4y2B一个 ,一个完整的振荡就完成了。因此,比较gydF4y2B一个 来gydF4y2B一个 应该增加论点吗gydF4y2B一个 ,对应于上述波数的定义。gydF4y2B一个
注意,一些来源(特别是在化学中)对波数有不同的定义,并使用不同的符号,如gydF4y2B一个 .就物理意义而言,这两种定义在本质上是等价的。gydF4y2B一个
对于某些类型的波,如光,gydF4y2B一个频率gydF4y2B一个 ,它描述了波在时间上的振荡速度,满足方程:gydF4y2B一个
角频率与一个经常标记的量有关gydF4y2B一个 频率也叫gydF4y2B一个 .有了这些新的定义,波动方程的解可以写成许多不同的形式,例如:gydF4y2B一个
振幅、功率和响度gydF4y2B一个
振幅gydF4y2B一个 与单位时间、单位面积的能量有关(gydF4y2B一个强度gydF4y2B一个或gydF4y2B一个功率通量gydF4y2B一个)被那个波浪所携带。具体来说,强度与振幅的平方成正比。这一事实通常是在不同物理情况下的个案基础上证明的,而不是波动方程的一般解。gydF4y2B一个
证明经典电磁波所携带的功率通量是电场或磁场振幅的平方。gydF4y2B一个
解决方案:gydF4y2B一个
回想一下能量通量gydF4y2B一个 由gydF4y2B一个坡印亭矢量gydF4y2B一个为gydF4y2B一个电磁波gydF4y2B一个是:gydF4y2B一个
在哪里gydF4y2B一个 是渗透自由空间和gydF4y2B一个 和gydF4y2B一个 分别为电场和磁场。对于真空中的光,磁场的振幅是gydF4y2B一个 在哪里gydF4y2B一个 为光速,坡印亭矢量的大小瞬间为:gydF4y2B一个
它与电场(或磁场)振幅的平方成正比。gydF4y2B一个
证明了波在弦上携带的平均功率是波振幅的平方。gydF4y2B一个
解决方案:gydF4y2B一个
回想一下权力的公式gydF4y2B一个 受外力作用gydF4y2B一个 对物体的移动速度gydF4y2B一个 :gydF4y2B一个
对于弦上的小振幅波,只有垂直方向上的力和位移起作用。如果弦有角度gydF4y2B一个 相对于水平,gydF4y2B一个牛顿第二定律gydF4y2B一个给:gydF4y2B一个
代入波动方程的解的导数gydF4y2B一个 ,一个人发现了力量:gydF4y2B一个
是振幅的平方吗gydF4y2B一个 .gydF4y2B一个
第三个例子是电流,这是众所周知的gydF4y2B一个欧姆定律gydF4y2B一个电阻器中耗散的功率等于通过电阻器的电流振幅的平方:gydF4y2B一个
在上面的例子中,功率瞬间变成gydF4y2B一个峰gydF4y2B一个振幅。然而,峰值振幅本身很少具有物理意义。通常,一个波提供的功率是在多个周期内平均的;由于在大多数振荡中波的振幅都不在峰值,所以把峰值振幅作为唯一的重要因素是没有意义的。此外,对于非谐波(非正弦)的波,可能没有一个明确定义的峰值振幅。gydF4y2B一个
在这些情况下,使用gydF4y2B一个均方根gydF4y2B一个的平均值的平方根得到的振幅gydF4y2B一个 在一段时间内。当波是谐波时,在一个周期内平均正弦或余弦函数的平方通常会贡献一个因子gydF4y2B一个 .gydF4y2B一个
如果波动方程的解描述的是声波,其强度直接对应于gydF4y2B一个响度gydF4y2B一个通常测量到的gydF4y2B一个分贝gydF4y2B一个.因为强度是振幅的平方gydF4y2B一个 ,响度gydF4y2B一个 可以定义:gydF4y2B一个
在哪里gydF4y2B一个 声波的振幅是否在人类听觉阈值处,对应的是某某的幂次gydF4y2B一个 [2].因此,分贝量表测量的声音大小仅与人类听力的阈值有关。gydF4y2B一个
频率,颜色和音高gydF4y2B一个
波的频率描述了波在时间上振荡的快慢。例如,对于真空中的光波,频率和波长是可以互换的定义。这是因为真空中的光遵循以下关系:gydF4y2B一个
还有光速gydF4y2B一个 是一个常数。因此,光的频率和波长是等价的定义,用来定义电磁辐射类型的光谱:gydF4y2B一个
光也遵循量子力学的关系:gydF4y2B一个
也就是说,量子力学预测能量gydF4y2B一个 与光子所代表的光的频率成正比,这个比例常数gydF4y2B一个 称为普朗克常数。因此,光的波长、频率和能量由少量光子(量子力学,gydF4y2B一个不gydF4y2B一个经典的)都是可互换的定义。gydF4y2B一个
人类对颜色的感知与眼睛内部结构中原子元素的电子跃迁的量子力学行为直接相关。从本质上讲,颜色与入射光子的能量相对应,因此也与它的频率相对应。因此,光波的频率本质上代表颜色,这与电磁辐射光谱的通常画法是一致的。gydF4y2B一个
因为这种关系gydF4y2B一个 在美国,光的颜色通常用波长来标记:大约gydF4y2B一个 对于紫光和gydF4y2B一个 红灯。然而,用它们来标记颜色更精确gydF4y2B一个频率gydF4y2B一个.这是一个重要的澄清,因为有效光速是gydF4y2B一个不gydF4y2B一个总是gydF4y2B一个 .在折射率大于1的材料中(真空以外的任何材料),材料中原子对光的不断吸收、发射和散射使光的有效速度看起来低于gydF4y2B一个 事实上,光速永远是gydF4y2B一个 但从启发式上讲,人们可以认为,光传播的额外时间是由原子吸收和重新发射之间的时间所增加的)。具体来说,光速是按折射率按比例缩小的gydF4y2B一个 :gydF4y2B一个 .当光速低于gydF4y2B一个 ,光的波长在材料中改变,但频率不变。由于进入材料时颜色不会改变(考虑在水下观看物体:颜色不会改变),频率更基本地描述了颜色。gydF4y2B一个
除了表示颜色,声波/压力波的频率也与音高直接对应。再一次,这是人体物理的结果:人的耳朵是这样配置的,以便高频接收到的耳朵部位与低频接收到的耳朵部位不同,接收到的位置与音高相对应。高频对应着更高的音调,反之亦然:gydF4y2B一个
波数,色散关系和动量gydF4y2B一个
如上所述,当波进入介质时,其有效速度会发生变化,因此有效波长也会发生变化。自gydF4y2B一个 ,这些效应同样被波数的变化所捕捉。gydF4y2B一个
把波数和角频率联系起来的方程,gydF4y2B一个 被称为gydF4y2B一个色散关系gydF4y2B一个,并描述波的速度在不同波长下如何变化。波在一个特定的介质的色散关系是至关重要的用于描述一个)如何通过媒介和信息传输在波b)在描述允许能量波穿过介质(例如,如果是电子在周期性晶体的物质波的允许的值米omentum are restricted).
当介质中波的频散关系是非平凡的,波的速度就不再是唯一的,因此描述信息是如何通过波传递的就是非平凡的。这在极端相对论物理学中尤其重要,因为在极端相对论物理学中,根据速度的描述,某些描述波速的方法可能会超过光速,而不会违反因果关系。两种速度的定义如下:gydF4y2B一个
群速度gydF4y2B一个:gydF4y2B一个
相速度gydF4y2B一个:gydF4y2B一个
粗略地说,相速度描述了波的单个“部分”的速度,而群速度描述了波的整体形状传播的速度。根据上下文,gydF4y2B一个要么gydF4y2B一个可对应于gydF4y2B一个信号速度gydF4y2B一个这决定了波是如何传输信息的。gydF4y2B一个
求光波的色散关系,计算相位和群速度。gydF4y2B一个
解决方案:gydF4y2B一个
光遵循频率和波长的关系:gydF4y2B一个
代入角频率和波数的定义,重新排列,得到色散关系:gydF4y2B一个
计算群速度和相速度,可以发现:gydF4y2B一个
因为群速度和相速度是相同的,所以光波是相同的gydF4y2B一个非色散gydF4y2B一个.下面展示了一个可视化的动画,说明了波是非色散的含义:gydF4y2B一个
已知深水波的频散关系:gydF4y2B一个
与gydF4y2B一个 由于地球表面的重力加速度,计算相位和群速度。gydF4y2B一个
解决方案:gydF4y2B一个
根据它们的定义计算速度很简单,但结果很有启发性:gydF4y2B一个
相速度是群速度的两倍,波是频散的:gydF4y2B一个
当多个波长的波叠加时,波的形状分散得更明显:gydF4y2B一个
色散也确实是光波通过棱镜色散的原因,如下图所示:gydF4y2B一个
在具有折射率的材料中gydF4y2B一个 时,光服从色散关系:gydF4y2B一个
在大多数介质中,指折射率gydF4y2B一个 是一个非常弱的波数增长函数。群速度可以用相速度表示为:gydF4y2B一个
自gydF4y2B一个 时,群速度略小于相速度。这一事实是棱镜中更高频率的偏转增加的原因。gydF4y2B一个
最后,注意(在下面的问题中探究),在量子力学中代表粒子的物质波有一个非平凡的色散关系。自gydF4y2B一个 在量子力学中根据德布罗意关系,我们看到波数在这种情况下直接对应于动量色散对应于量子力学中作为动量函数的能量行为。gydF4y2B一个
相移和干涉/衍射图样gydF4y2B一个
的相移gydF4y2B一个 在波动方程的解中,第一眼看上去似乎是不重要的,因为坐标总是可以移到定值gydF4y2B一个 对于一个特解。然而,gydF4y2B一个是gydF4y2B一个重要的是,gydF4y2B一个相对gydF4y2B一个相移gydF4y2B一个 波动方程的两种不同解之间的关系,波动方程产生了干涉和衍射图案。gydF4y2B一个
要知道相对相移为什么重要,考虑两个相同的波的叠加,它们的相对相移为gydF4y2B一个 :gydF4y2B一个
这些波被称为gydF4y2B一个的阶段gydF4y2B一个为了表示相移使一个波的波峰与另一个波的波峰完全相反的事实。叠加的结果是正峰和负峰抵消,得到零,这叫做gydF4y2B一个相消干涉gydF4y2B一个.gydF4y2B一个
如果两个波gydF4y2B一个在阶段gydF4y2B一个然而,山峰是整齐排列的。这总是发生在相对相移为零时,但也有效地发生在小相移。结果是gydF4y2B一个相长干涉gydF4y2B一个,其中结果的峰值位于由两个原始峰值之和给出的高度:gydF4y2B一个
下面,一些例子,如何叠加的波在不同的相移引起重要的干涉和衍射效应的物理探索。gydF4y2B一个
与波长光相对应的光子gydF4y2B一个 对着有两条相隔一定距离的细缝的障碍物发射gydF4y2B一个 如下图所示。在穿过缝隙后,它们击中了远处的一个屏幕gydF4y2B一个 离开时,gydF4y2B一个 然后测量撞击点。值得注意的是,这个实验和理论gydF4y2B一个量子力学gydF4y2B一个预测在屏幕上每一点上测量到的光子数量,会遵循一系列复杂的波峰和波谷gydF4y2B一个干涉图样gydF4y2B一个如下。光子必须表现出相对相移的波动行为,以某种方式对这种现象负责。找出干扰图样出现在屏幕上的最大值的条件。gydF4y2B一个
解决方案:gydF4y2B一个
自gydF4y2B一个 ,每条狭缝的角度近似相等gydF4y2B一个 .如果gydF4y2B一个 为从狭缝之间的中点到干涉峰的垂直位移,因此:gydF4y2B一个
此外,还存在路径差异gydF4y2B一个 在两个狭缝和干涉峰之间。从下狭缝发出的光必须传播gydF4y2B一个 进一步到达屏幕上的任何特定点,如下图所示:gydF4y2B一个
相长干涉的条件是路径差gydF4y2B一个 正好等于整数个波长。光在整数上传播时的相移gydF4y2B一个 波长的数目是精确的gydF4y2B一个 ,这和没有相移是一样的,因此是相长干涉。根据上面的图表和基本的三角函数,可以这样写:gydF4y2B一个
第一个等式总是正确的;二是相长干涉的条件。gydF4y2B一个
现在使用gydF4y2B一个 ,可以看出,相长干涉对应的干涉图样最大值的条件为:gydF4y2B一个
即最大值出现在垂直位移处:gydF4y2B一个
当光线照射在像肥皂泡一样的薄膜上时,就会产生干涉图样。这是因为从薄膜表面反射的光与从薄膜表面反射回来的光有一个小的相移gydF4y2B一个底gydF4y2B一个薄膜表面,它移动了与薄膜厚度相关的额外距离(见下图)。gydF4y2B一个
更复杂的是,当光从折射率更高的介质反射时,麦克斯韦方程组要求光的相位偏移gydF4y2B一个 .gydF4y2B一个
如果薄膜是厚度gydF4y2B一个 ,找到条件gydF4y2B一个具有破坏性的gydF4y2B一个干涉,就gydF4y2B一个 的波长gydF4y2B一个 光的折射率gydF4y2B一个 电影和角度gydF4y2B一个 当从空气中进入的光照射在薄膜上时,相对于正常值的入射量。请注意,薄膜的折射率大于空气的折射率gydF4y2B一个 ).gydF4y2B一个
解决方案:gydF4y2B一个
对于破坏性干涉,所经过的额外总距离(按折射率计算)必须是光的波长的整数。这是因为从薄膜上表面反射出来的光线具有相移gydF4y2B一个 .如果额外的移动距离(按折射率换算)是波长的整数,额外的相移会使两束射线完全不相,导致破坏性干涉。折射率按比例变化的原因是当光的有效速度变慢时gydF4y2B一个 ,则移动相同的距离会积累更多的相位(频率相同,但速度较慢,因此频率积累相位的时间较多gydF4y2B一个 .gydF4y2B一个
计算额外的距离,用gydF4y2B一个 ,第一次使用gydF4y2B一个斯涅尔定律gydF4y2B一个求角度gydF4y2B一个 光线进入胶片的位置:gydF4y2B一个
从图中可以看出,在薄膜内移动的额外距离为gydF4y2B一个 :gydF4y2B一个
有一个额外的路径差,从顶部反射的光在第二束光线平行地离开薄膜之前的传播量。这是段gydF4y2B一个 在图中。一些平面几何(你自己试试!)给出了长度gydF4y2B一个 为:gydF4y2B一个
因此,考虑折射率的额外路径差为:gydF4y2B一个
使用for这个表达式gydF4y2B一个 而言,gydF4y2B一个 根据斯涅尔定律和事实gydF4y2B一个 相移使光线完全不相,我们找到了相消干涉的条件gydF4y2B一个 是任何一个整数:gydF4y2B一个
相对相移的概念也对的实验技术负责gydF4y2B一个干涉测量法gydF4y2B一个例如,它曾被用于LIGO的探测gydF4y2B一个引力波gydF4y2B一个.干涉仪将激光沿两个垂直的管发射和返回,测量光线重新组合的干涉图样。如果其中一个臂的长度比另一个稍长或稍短,光就会获得一个较小的相对相位,这是由干涉图样测量的。gydF4y2B一个
参考文献gydF4y2B一个
[1] By Lookang(自己的作品)[CC By -sa 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)],通过维基共享。https://en.wikipedia.org/wiki/Wave#Traveling_wavesgydF4y2B一个
[2] -哈斯,杰弗里。声学入门:第六章。印第安纳大学音乐学院电子与计算机音乐中心。http://www.indiana.edu/ emusic /音响/ amplitude.htm。gydF4y2B一个
[3]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Light,在知识共享许可下重用和修改。gydF4y2B一个
[4]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Guitar_harmonics,在知识共享许可下重用和修改。gydF4y2B一个
[5]来自https://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_relation的图像在GFDL许可下重用。gydF4y2B一个
[6]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Double-slit_experiment,在知识共享许可下重用和修改。gydF4y2B一个
[7]图片来自https://en.wikipedia.org/wiki/Thin-film_interference CC-2.5。gydF4y2B一个