安培定律

之一麦克斯韦方程,安培定律,相关旋度的磁场当前的密度，特别适用于高度对称的电流分布。

的毕奥萨伐尔定律需要对许多无穷小电流元素进行求和，从而可以直接计算由载流导线引起的任何磁场配置。与库仑定律在静电学中，这种类型的和可能变得相当复杂。

与静电学类似，其中高斯定律在静磁学中，可以方便地计算对称系统的电场安培定律可方便地用于确定对称电流元件系统的磁场。

回想一下，高斯定律的动机(积分形式)陈述了区域电荷分布和表面上电场的关系(积分形式)电通量）.同样地，当考虑电流元件的路径时，可以考虑整个路径上的磁场。 $（$在静磁学从直觉上来说，考虑是有意义的路径(而不是表面与静电学)，因为我们关心的是载流路径． $）$

就像电通量是在高斯曲面上计算一样，用毕奥-萨伐尔定律的另一种表述，人们可能渴望在一个封闭的有向路径上求和磁场，或所谓的Amperian循环．同样地，我们不考虑高斯曲面中包含的总电荷，我们考虑总电流由一个美国式的圆圈围起来。就像高斯曲面一样，有一个美国式的环也有一个环的方向。一般来说，我们将环的正方向定义为逆时针方向。人们可以通过将右手的手指缠绕在拇指上来记住这一习俗(即所谓的“右手拇指”)。右手定则”)。

要了解这与载流元素之间的关系，请考虑下面所示的大小不同的美洲环。如图所示，一根载流导线(指向页面外)通过每个图。

考虑上面两个回路的磁场之和。特别地，让磁场与线圈上每一点相切的分量在每个磁场上连续求和，用积分

$\int_\text{loop} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s}，$

这就是所谓的线积分．在很多情况下 $（$如常数 $\ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf{年代}),$积分不必直接从定义中计算。相反，对称性参数可能足以得到积分的值。

在第一个回路中，路径本身相当小，但靠近导线的磁场很强。在它下面的大环中，路径要大得多，但磁场要弱得多。事实上，根据毕奥-萨伐尔定律，人们知道磁场恰好会减弱一个因子 $1 / r$,在那里 $r$为环的半径。因此，线圈大小的线性变化正好被线圈所在位置的磁场强度的减小抵消。换句话说，磁场和，圆周方向的总和是

$2 \ r \frac{\mu_0 I}{2 \ r} = \mu_0 I，$

是独立于 $r$．因此，考虑环路的物理尺寸可能没有电流那么重要是不合理的 $我$包含循环。如果循环远离电流源，则其路径更长，但相应的场强随着路径长度的增加而比例减小。

你也可以考虑下面的美国式循环:

通过前面的推理，两个圆弧段之间的场相互抵消。沿着其中一条弧，环上的场的和等于 $\ mu_0我$，而在另一条路上，由于路径的方向相反，总和必须是完全相反的(但大小相同)。此外，沿径向的部分，场的和必须是零，因为场的所有分量都垂直于径向方向。因此，循环域的和为零。在这种情况下，没有电流通过环路的内部，没有净磁场产生时，对环路求和。对于不包含任何当前元素的任何通用循环，也可以使用类似的参数。

事实上，通过与高斯定律进行类比，人们可以推测出以下情况:

• 磁环上的磁场积分与磁环的几何形状或大小无关。
• 积分只取决于回路中包含的电流。特别地，积分与回路中包含的电流成正比。(此外，根据循环回路的计算，比例常数必须为 $\ mu_0$．）
• 作为一个推论，当没有电流通过回路内部时，积分为零。

的积分形式Ampère的定律可以表述如下。可以证明它与毕奥-萨伐尔定律是等价的。

Ampère的定律(积分形式):

给定一个逆时针方向的闭合回路(美式回路)，其中有总电流 $文本I_ \ {encl}$是封闭的,

$文本\ int_{\{循环}}\ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf{年代}= \ mu_0 I_ {encl} \文本。$

就像高斯定律一样，它可以用来计算从场的总电荷分布，反之亦然，Ampère定律可以用来确定具有一定对称性的情况下的场或封闭电流。为了利用给定系统的对称性，通常需要明智地选择美国式回路。

注意，必须注意使回路相对于电流方向正确地定位。由于线圈在书页上的方向是逆时针的，所有从书页流出的电流都是正的，而进入书页的电流都是负的。

载流导线的磁场:

从载流导线中计算磁场 $我$，我们选择一个半径为圆形的美国式线圈 $r$以电线为中心。因为 $\ mathbf {B} \ cdot d \ mathbf{年代}$是常数吗

$B (2\ r) = \mu_0 I，表示B = frac{\mu_0 I}{2\ r}，$

在哪里 $B$是场的大小。

螺线管的磁场:

假设有一个圆柱体电磁，一种绕在圆柱形铁芯上的线圈。电磁阀的侧视图如下所示。如果螺线管(沿着它的轴测量)比它的半径长，那么螺线管内部靠近中间的磁场由于对称性非常接近恒定。

我们选择一个长方形的美国式线圈，这样线圈的一边在螺线管的内部，另一边在螺线管的外面。回路外的侧面可以选择足够远的螺线管，这样它感觉一个可以忽略的磁场。

垂直于螺线管轴线的线圈两侧的集成磁场必须为零，因为在它们路径上的所有对应点上，两侧都能感受到相同的磁场，但方向相反。如果螺线管内部的路径边长为 $l$，则F为

$B L = \mu_0 N I，$

在哪里 $N$电线的匝数除以长度吗 $l$．相反,写作 $n = n / L$就像回合密度(单位长度的回合数)，一个人有

$B = \mu_0 n I。$

换句话说，场强只取决于电流和匝数密度，而不是总匝数。

如果与轴平行的美国式线圈的两边都选择位于螺线管之外，则Ampère定律给出

$B l = 0，$

所以螺线管外面是零场。

粗线内的磁场:

有外围半径的粗金属丝 $R$稳定的电流均匀地分布在导线上。如果总电流是，导线内外的电场是多少 $我吗?$

---

再一次，我们选择一个半径为圆形的美国式环 $r$以导线的轴线为中心。

线外 $(r >),$Ampère的定律给出了与标准细电线相同的结果

$B = frac{\mu_0 I}{2\ r}。$

内部线 $(r \ leq r),$所附总电流为 $我\大(r ^ 2 / r ^ 2 \大)$，所以Ampère定律给出

$B(2 \πr) = \ mu_0我(r ^ 2 / r ^ 2) \意味着B = \压裂{\ mu_0 ir}{2 \πr ^ 2}。$

由于总电流与 $r$而字段的衰减(对于循环内的当前元素)是按比例发生的 $1 / r$，场作为一个整体线性增加 $r$．

用a表示Ampère的定律当地的形式，可以使用斯托克斯公式重写线积分 $\int \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s}$就…而言曲面积分的旋度的 $\ mathbf {B}$：

$\int_\text{loop} \mathbf{B} \cdot d\mathbf{s} = \int_\text{surface} \nabla \times \mathbf{B} \cdot d\mathbf{a}。$

但是Ampère的定律是这么说的

$I_\text{encl} = \mu_0 \int_\text{surface} \mathbf{J} \cdot d\mathbf{a}，$

在哪里 $\ mathbf {J}$是电流密度．它是广义的、连续的电流 $我$．当然，两个方程中的曲面积分可以在任意选择的闭曲面上取，因此被积函数必须相等:

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}。$

这就是所谓的微分形式它用微分算子，旋度，来表示Ampère定律。

这是物理学最伟大的成就之一，也许是牛顿和爱因斯坦时代之间最辉煌的成就之一，在19世纪中期，麦克斯韦证明了Ampère定律的“幼稚”形式是不充分的，或者至少是没有完全推广。事实证明，类似于法拉第定律在这种情况下，时变的磁场产生电场，时变的电场也产生磁场。换句话说，磁场中的正旋度不仅可以是稳态电流的结果，也可以是时变电场的结果。

麦克斯韦添加了一个叫做位移电流表示时变电场对 $\微分算符\ * \ mathbf {B}$．他推断，附加项的大小一定是 $\epsilon_0 \partial \mathbf{E}/\partial t$．在这种情况下，Ampère的定律是这样的

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{partial \mathbf{E}}{partial t}。$

这是Ampère定律的完整形式，包含了麦克斯韦的修正。有时它被称为Ampère-Maxwell定律，尽管大多数时候它被简单地称为“Ampère的定律”。通常情况下，时间是很清楚的 $\压裂{\部分\ mathbf {E}}{\部分t}$在给定的问题中是相关的，所以关于一个人是指Ampère定律的幼稚形式还是修正形式是没有歧义的。

可以肯定的是，在实践中附加条件的大小 $\mu_0 \epsilon_0 \partial \mathbf{E}/\partial t$足够小以至于可以被忽略。要知道为什么，请注意，电磁波的速度是

$C = frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}，$

也可以写作

$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J} + \frac{1}{c^2} \frac{partial \mathbf{E}}{partial t}。$

一般来说, $部分\ \ mathbf {E} / \部分t$比 $c ^ 2$，所以这个术语不容易用实验来测量。

麦克斯韦附加项的重要性在于它允许我们做下面的事情。为简单起见，假设有一个电场所在的空间区域 $E (x)$非零是否只在 $z$轴和磁场 $B (x)$非零是否只在 $y$-轴，这样两者都是的函数 $x$只有。法拉第定律给出

$/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /$

尽管 $\ mathbf {J} = 0$，加上这一项，安培定律就给出了

${c^2} \frac{partial E}{partial t} \frac{partial B}$

对第一个方程求偏导数 $x$第二个是关于 $t$收益率

${partial^2 E}{partial x^2} &= - frac{partial x^2 B}{partial x \partial t} &= - frac{1}{c^2} \frac{partial^2 E}{partial t}结束\{对齐}$

因此,

$\压裂{\部分^ 2 E}{\部分x ^ 2} = \压裂{1}{c ^ 2} \压裂{\部分^ 2 E}{\部分t ^ 2}。$

这个方程有解 $E (x)$ $\大($及相应的解决方案 $B (x) \大)$代表旅行的电磁波．事实上，刚刚推导出来的方程和经典方程的形式是一样的波动方程在一个维度。换句话说，电和磁定律允许电场和磁场以波的形式传播，但前提是把麦克斯韦位移电流项加到Ampère定律中。事实上，麦克斯韦是第一个为经典电磁波提供理论解释的人，并以此计算出了光速。

(一般的解决方案包括线性组合的正弦分量，如下图所示。)

[1]格里菲斯,D.J.介绍了电动力学．第四版。皮尔森,2014年。

[2]珀塞尔,。电和磁．第三版。剑桥大学出版社，2013。