代数数论
已经有账户了吗?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/algebraic-number-theory/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">日志在这里。一个>
有关……
代数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/number-theory/" class="wiki_link" title="数论gydF4y2Ba" target="_blank">数论一个>研究的根源是什么<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/polynomials/" class="wiki_link" title="多项式gydF4y2Ba" target="_blank">多项式一个>有有理数或积分系数。这些数存在于代数结构中,具有许多与代数结构相似的性质<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integers/" class="wiki_link" title="整数gydF4y2Ba" target="_blank">整数一个>.
gydF4y2Ba创立这门学科的历史动机是解丢番图方程,最著名的是费马方程<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-last-theorem/" class="wiki_link" title="著名的猜想gydF4y2Ba" target="_blank">著名的猜想一个>,最终被Wiles等人在20世纪90年代证实:
如果
主要的意思是一个表达像
gydF4y2Ba讽刺的是,许多人的努力19
代数数与代数整数“,
第一步是描述复数的特征,比如
一个复数
2 是一个代数整数,因为它是多项式的根
f (x)=x2−2.3.21 是一个代数数,因为它是多项式的根
f (x)=x3.−21.它不是一个代数整数,尽管这不是很明显。的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots-of-unity/" class="wiki_link" title="根的团结gydF4y2Ba" target="_blank">原始的
n th根的团结一个> ζn=e2π我/n=因为n2π+我罪n2π是一个代数整数。π不是代数数。这一点并不明显——1882年,林德曼(Lindemann)证明了这一点。非代数的数被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/transcedental-number/" class="wiki_link" title="先验的gydF4y2Ba" target="_blank">先验的一个>证明一个数字是先验的通常是相当困难的。
代数数论处理的是
最小多项式
任意代数数(或代数整数)
的
回想一下,一个
让
α 是一个代数数,让f (x)是它的最小多项式。那么以下是正确的:如果 g (α)=0而且g (x)有有理系数吗f (x)∣∣g(x).f(x)是 不可约 ,即不能分解为两个有理系数次数较小的多项式的乘积:f (x)=一个(x)b(x)与度(一个),度(b)<度(f).如果 g (α)=0,g (x)是有有理系数的monic,和g (x)是不可约的,那么g (x)=f(x).f有整数系数当且仅当 是一个代数整数。α
的标准应用程序<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/division-algorithm/" class="wiki_link" title="辗转相除法gydF4y2Ba" target="_blank">辗转相除法一个>对多项式:让
g (x)=f(x)问(x)+r(x)与度 (r)<度(f)或r (x)=0.然后代入α 给了r (α)=0,这与的极小性相矛盾f 除非r (x)=0.所以r (x)=0而且f (x)∣∣g(x).对于第二个表述,如果
f (x)=一个(x)b(x),我们可以这样假设一个 而且b 是monic(通过将它们乘以适当的有理数);然后0 =f(α)=一个(α)b(α),所以α 是两者的根吗一个 或b ,这与的极简性相矛盾f .第三个命题是第一个命题的后续:since
f (x)∣∣g(x)而且g 是不可约的,度的f 而且g 一定是一样的吧g 是常数乘以f .但它们都是一元的,所以常数一定是1 .(这表明最小多项式是唯一的。)第四个表述就没那么简单了;如果
f 系数是整数吗α 根据定义是一个代数整数,但是另一个方向需要做一些工作。如果α 是一个代数整数,那么有一个一元多项式g (x)它们的系数是整数α 是一个根。然后f (x)∣∣g(x)由(1)f (x)h(x)=g(x)对于某个monic多项式h 使用rational系数。我们的想法就是要证明这一点f (而且h )有整数系数;这是一个特例<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/gauss-lemma/" class="wiki_link" title="高斯引理gydF4y2Ba" target="_blank">高斯引理一个>.□
3.21 不是一个代数整数,因为它的最小多项式是
x 3.−21,它没有整数系数。( 要知道这是它的最小多项式,注意x 3.−21是不可约的,因为它没有理性根。) ζn是一个代数整数,因为它是的根
x n−1.但是,如果n ≥2的最小多项式ζ n,因为它不是不可约的( 它能被x −1).的最小多项式ζ n被称为n th割圆多项式一个> Φn(x),它有许多有趣的特性。
的
学位 代数数的α 是它的最小多项式的次数。
的程度
2 是2 .的程度3. 21 是3. .的程度
ζ n的程度n th割圆多项式,ϕ (n),在那里ϕ 是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-totient-function/" class="wiki_link" title="欧拉totient函数gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉totient函数一个>.例如,ζ 5的根x −1x5−1=x4+x3.+x2+x+1,这可以被证明是不可减少的伎俩涉及<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eisensteins-irreducibility-criterion/" class="wiki_link" title="艾森斯坦的不可约性标准gydF4y2Ba" target="_blank">艾森斯坦的不可约性标准一个>(详见维基百科)。所以ζ 5是4 .
整数环
代数数和代数整数的集合有一些有用的结构。例如,它们在加法和乘法下是封闭的:
让
为了讨论这个定理,引入一些术语会有所帮助:
让
gydF4y2Ba定义
引理:
- 如果
α 是代数数吗问 (α)等于所有表达式的集合一个 0+一个1α+⋯+一个d−1αd−1,在哪里d =度(α)和一个 我是理性的。( 在线性代数的语言中,问 (α)是一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/vector-space/" class="wiki_link" title="向量空间gydF4y2Ba" target="_blank">向量空间一个>在问 的维度d .)- 如果
α 是代数整数吗Z [α]等于所有表达式的集合一个 0+一个1α+⋯+一个d−1αd−1,在哪里一个 我都是整数。( 用…的语言<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/group-theory-introduction/" class="wiki_link" title="群理论gydF4y2Ba" target="_blank">群理论一个>,Z [α]是一个有限生成的阿贝尔群 .)
重点是更高的幂
α 可以用最小多项式“约简”;自α d+cd−1αd−1+⋯+c0=0对于一些系数c 我,α d可以重写为?的低次幂的线性组合α .这可以类似地用于α d+1,αd+2,等等。□
问(3.21 )是表达式集的形式吗
一个 +b3.21 +c3.41 ,因为3. 81 =21可以吸收成一个 项,3. 161 =213.21 可以吸收成b Term,等等。Z[ζ5]是表达式集的形式吗
一个 0+一个1ζ5+一个2ζ52+一个3.ζ53.,那里的一个 我是整数,因为ζ 54=−ζ53.−ζ52−ζ5−1更高的幂ζ 5可以类似地简化为较低幂的线性组合。
定理的证明用到了一些<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-algebra/" class="wiki_link" title="线性代数gydF4y2Ba" target="_blank">线性代数一个>显式地找到多项式
求最小多项式
gydF4y2Ba考虑一下
α0α1α2α3.α4=1+02 +03. +06 =0+12 +13. +06 =5+02 +03. +26 =0+112 +93. +06 =49+02 +03. +206 .
设定这些幂的线性组合等于
独特的分解
一个很好的性质
求整数的所有解
gydF4y2Ba写
gydF4y2Ba现在假设
gydF4y2Ba所以这两个因素是相对基本的;因此它们都是立方体,因为它们的乘积是。
gydF4y2Ba写
上述论点有一个极其重要的微妙之处。它似乎适用于这样的方程
求整数的所有解
gydF4y2Ba按照与上面例子相同的思路进行。得到
这个论证肯定有问题,因为
gydF4y2Ba问题是
而且
gydF4y2Ba另一方面,第一个例子确实提供了一个正确的证明,因为
现在,你可能会想,“为什么
代数数论中的环与理想
的集
gydF4y2Ba结果表明,对于环,在较弱的意义上可以恢复唯一因子分解
一个
理想据说是
注意,理想在加法下是封闭的,在乘法下是“吞噬”:if
理想的是
现在,用来发展欧氏环的独特分解性质的推理链显示如下:
每一个欧氏环都是一个主理想环。
证明:在欧几里得环中,有一个大小的概念(因为除法得到的余数必须“小于”商)。给出一个理想的
现在,
所以
显示,
回到费马猜想
如果
这种因式分解的使用方式与示例有些类似
gydF4y2Ba不幸的是,我们知道有无限多个不规则质数,甚至不知道是否有无限多个规则质数!(启发式法表明,大约61%的质数是规则的。)
gydF4y2Ba虽然这种研究费马猜想的方法被证明是一个死胡同,但它帮助创建的理论是现代数学的胜利。