AIME数学竞赛准备

的美国数学邀请赛(AIME)是美国的一项数学竞赛。这一页概述了比赛的细节和涵盖的主题，为训练准备和练习提供了相关的维基和测验。

美国邀请赛数学考试(AIME)是一个15道题，3小时的考试，每年举行两次。在AMC 10或AMC 12考试中表现出色的学生将被邀请参加AIME，并且在AIME上取得高分可以获得美国奥林匹克数学竞赛(USAMO)的资格。

每个对AIME的回答都是一个从0到999的整数。不准使用计算器。

这些是AIME所涵盖的基本主题，通常出现在前5个问题中。如果你是AIME的新手，这是一个很好的开始学习的地方!

$大\ \ textbf{代数}$

章	维基	测试
等差数列
几何发展
Vieta的公式
对数函数
多项式因式分解

$大\ \ textbf{几何}$

章	维基	测试
四边形
体积
圆的属性
三角形面积
三角函数

$\large \textbf{组合(计数和概率)}$

章	维基	测试
包容和排斥原则
双射
排列
组合
离散型概率

$大\ \ textbf{数论}$

章	维基	测试
基地的数量
介绍了递归
肾小球囊性肾病/ LCM
质因数分解和除数

这些是AIME所涵盖的中间主题，通常出现在中间5个问题中。如果您已经习惯了解决AIME上的前几个问题，那么这是一个磨练您技能的好地方。

$大\ \ textbf{代数}$

章	维基	测试
完全平方
其余因子定理
部分分式
地板及天花板功能
理性的根定理

$大\ \ textbf{几何}$

章	维基	测试
内刻和外刻图形
解决三角形
三角恒等式
切线和割线
多面体

$\large \textbf{组合(计数和概率)}$

章	维基	测试
二项式定理
鸽子洞原理
条件概率
分布到垃圾箱
矩形网格走

$大\ \ textbf{数论}$

章	维基	测试
斐波纳契数
二次丢番图方程
线性丢番图方程
模运算

这些是AIME所涵盖的高级主题，通常出现在最后5个问题中。如果你想获得一个完美的分数，这是一个学习解决AIME上最难的问题的好地方!

$大\ \ textbf{代数}$

章	维基	测试
复数
统一的根源
对称多项式
经典不等式的应用
多项式插值

$大\ \ textbf{几何}$

章	维基	测试
三角形的中心
运用相似三角形
三角方程
和和差三角公式
高级三角形和圆形

$\large \textbf{组合(计数和概率)}$

章	维基	测试
几何概率
期望值
解决问题的策略
生成函数
组合游戏

$大\ \ textbf{数论}$

章	维基	测试
线性递归关系
欧拉定理
一般的丢番图方程
基本应用程序

在AIME中有许多技巧是“标准学校课程”所没有的。为了说明问题，这里有一个2007年的示例问题:

2007年AIME 1，问题14

让 $米$是方程的最大实解

$\ \压裂{3}{3}+压裂{5}{x5} + \压裂{17}{x 17} + \压裂{19}{x 19} = x ^ 2 - 11 x - 4。$

有正整数 $一个,$ $b,$和 $c$这样 $M = a +√{b+√{c}}。$找到 $a + b + c。$

注意，这是一个“困难”集合，但这个问题是完全可以用常规代数解决的，甚至遵循想要隔离的标准逻辑 $x$把问题写成

$\text{(某些因式多项式)}= 0。$

然而，具体的技巧是不寻常的;找到它们需要练习。这个很好地利用了重排，替换,对称．

我们可以马上发现 $x = 0$是一个解决方案:

$-1 + -1 + -1 + -1 = -4，$

如果我们发现其他解都是负的， $0$是我们的答案。 $\大($然而，我们基本上是在竞争的环境下，给定的设置 $M = a +根号{b+根号{c}}$会有一个正根。 $\大)$

常数是最容易去掉的项之一;它们要么可以通过代换进行转换(稍后您将看到)，要么可以“打乱”成代数的其他部分。虽然没有太多的可能 $－４$在等号的右边，左边有势能吗?让我们来看看:

${对齐}\ \开始压裂{3}{3}+ \压裂{5}{x5} + \压裂{17}{x 17} + \压裂{19}{x 19} & = x ^ 2 - 11 x - 4 \ \ \ \ \压裂{3}{3}+ \压裂{5}{x5} + \压裂{17}{x 17} + \压裂{19}{x 19} + 4 & = x ^ 2 - 11 x。结束\{对齐}$

4正好有4项，如果这样做会发生什么重排然后把4分出来，给每一项1 ?我们有

$\开始{对齐}\压裂{3}{3}+ 1 + \压裂{5}{x5} + 1 + \压裂{17}{x 17} + 1 + \压裂{19}{x 19} + 1 & = x ^ 2 - 11 x \ \ \ \ \压裂{3 + 3}{3}+ \压裂{5 + x5} {x5} + \压裂{17 + x 17} {x 17} + \压裂{19 + x 19} {x 19} & = x ^ 2 - 11 x \ \ \ \ \ \压裂压裂{x} {3} + {x} {x5} + \压裂{x} {x 17} + \压裂{x} {x 19} & = x ^ 2 - 11 x。结束\{对齐}$

这是一个相当常见的竞争技巧:写作 $\text{(某些分数)}+ 1，$ $\text{(某些分数)}-1，$或 $1 - \text{(一些分数)}$能产生有用的结果。

因为我们在找非零根，我们可以安全地在等号两边除以 $x:$

$\ \压裂{1}{3}+压裂{1}{x5} + \压裂{1}{x 17} + \压裂{1}{x 19} = x - 11所示。$

不幸的是，现在改变等号的右边并没有帮助，所以让我们看看左边的项。有一个明确的对称模式发生了: $－3$和 $－5$两者是分开的吗 $-17年$和 $-19年$是两个分开的。对称性并没有写成对我们有用的形式，但我们可以使用替换把它带出来。

让 $Q = x - 11。$请注意, $-11年$是介于 $－3$和 $-19年$以及 $－5$和 $-17;$我们特意选了这个数字来展示对称性。它也碰巧与等号的右边匹配:

$\{对齐}开始x - 3 = x - 11 Q + 8 + 8 & = \ \ x - 5 = x - 11 + 6 & = Q + 6 \ \ x - 17 = x - 11 - 6 & = Q - 6 \ \ x - 19 = x - 11 - 8 & = Q - 8。结束\{对齐}$

代入原始方程 $（$包括右边有 $x -11),$

$\压裂{1}{Q + 8} + \压裂{1}{Q + 6} + \压裂{1}{Q - 6} + \压裂{1}{Q - 8} =问。$

很容易注意到+8/-8和+6/-6的匹配。我们再重新排列一下，把这些项结合起来:

$\开始{对齐}\压裂{1}{Q + 8} + \压裂{1}{Q - 8} + \压裂{1}{Q + 6} + \压裂{1}{问6}& Q = \ \ \压裂{Q-8} {(Q + 8) (Q-8)} + \压裂{Q + 8} {(Q + 8) (Q-8)} + \压裂{Q 6} {(Q + 6) (Q 6)} + \压裂{Q + 6} {(Q + 6) (Q 6)} & Q = \ \ \压裂{2 Q}{问^ 2 - 64}+ \压裂{2 Q}{问^转动}& =问:\{对齐}结束$

不忘记 $x = 11$是原始问题的解，除以 $问$双方:

$\frac{2}{Q^2-64} + frac{2}{Q^2-36} = 1。$

我们可以用另一种替换使平方项更容易处理;让我们使用 $Q R = ^ 2:$

$\frac{2}{R-64} + frac{2}{R-36} = 1。$

然后把所有项都放在等号的一边:

$\开始{对齐}2 (R-36) + 2 (R - 64) & = 1 (R - 64) (R-36) \ \ 2 R - 72 + 2 R - 128 & = R ^ 2 - 100 R + 2304 \ \ 0 & = R ^ 2 - 104 R + 2504。结束\{对齐}$

在这里应用二次公式(只担心更大的根)会得到 $R = 52 +根号{200}。$记住, $Q R = ^ 2$(再次只担心更大的根)， $Q =√{52 +√{200}}。$最后,记住 $Q = x -11，$

$X = 11 +√{52 +√{200}}。$

几乎完成了!问题问的是 $A + b + c$在根 $M = a +根号{b+根号{c}}$所以我们想要的答案是 $11 + 52 + 200 = 263。$

让我们总结一下使用了什么:

• 重排移动 $－４$项，这使得等号左边的每一项都得到an $x$在分子上。

• 分 $x$出去了。

• 使用一个替代 $Q = x - 11$以揭示使这些项更容易组合的对称性。

• 使用另一个替代 $Q R = ^ 2$在必要时避免处理平方项。

• 做标准代数，包括做二次方程 $Ax ^2 + bx + c = 0$然后用二次公式。

• 反代求解的最大实解 $x。$

注意，虽然整个解作为一个整体可能是令人生畏的，但每个单独的步骤都是普通的代数。一旦你开始更容易地发现这些技巧，你甚至可以解决最困难的AIME问题!