仿射变换

一个仿射变换是一种几何变换，它保持共线性(如果变换前的点集合在一条直线上，变换后的点集合也都在一条直线上)和直线上点之间的距离比。仿射转换的类型包括平移(移动图形)、缩放(增加或减少图形的大小)和旋转(围绕一个点旋转图形)。

注意，可以进行仿射变换 $R \ mathbb {} ^ n$,因为 $n \组1$，尽管有些转换是没有意义的 $n = 1$．矩阵代数将用于统一介绍。为了得到唯一的仿射变换矩阵，需要比 $n$的 $R \ mathbb {} ^ n$空间。它还假定这些点没有共同点 $R \ mathbb {} ^ {n}$空间。例如,在 $R \ mathbb {} ^ 2$空格，3分是必需的，他们不能都在同一个 $R \ mathbb {} ^ 1$也就是说，空间不能共线。

示例和计算将在 $R \ mathbb {} ^ 2$．希望扩展到 $n \ gt 2$它将是显而易见的。

在每个例子中之前是红色的固体吗后是蓝色的虚线。示例三角形的角将被标记如下:第一个角将有一个小圆盘，第二个角将有一个小四边形，第三个顶点将有一个小五边形物体。所有这些标签都是半透明的灰色。在每个例子中，原始三角形将是(0,0)、(1,0)和(0,1)。

翻译

---

正确的 $\ frac12$和由 $\ frac13$

扩展

---

通过 $\ frac12$垂直。根据定义，缩放只在一个方向上。注意，多个轴上的倍数缩放是允许的，在所有轴上，成为一个放大或同质。

反射

---

一条通过的无限直线的反射 $(0,1)$斜率为 $- - - - - - \ frac12$：

旋转

---

绕原点的一个角度的旋转 $\ frac23 \π$弧度:

剪切或剪切

---

通过一个角度对原点的剪切 ${反正切}\文本(\ frac12)$弧度:

仿射变换变成一维更高的线性变换。通过指定一个点的下一个坐标 $1$,例如, $(x, y)$就变成了 $(x, y, 1)$，这些被称为齐次坐标。由于线性变换很容易用矩阵表示，因此对应的实体是增广矩阵，其中 $一个$S提供了除平移外的所有变换，这些变换由 $b$年代。 $\ bm{一}= \离开(\{数组}{ccc}开始现代{1 1}&现代{1,2}& b_1 \ \现代{2,1}&现代{2,}& b_2 \ \ 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\右)$

点的示例集是原始集和最终集。

原始集合是 $(2, 2)$， $(0,1)$和 $(2,0)$，．在一个 $3 \乘以3$矩阵,这就变成: $左(\ \ bm {o} = \开始{数组}{ccc} 2 & 0 & 2 \ \ 2 & 1 & 0 \ \ 1 & 1 & 1 \ \ \{数组}结束\右)$

期望的最终集合是 $(1,0)$， $(0 \压裂{\ sqrt {3}} {2})$和 $(0 \压裂{\ sqrt {3}} {2})$．在一个 $3 \乘以3$矩阵,这就变成: $左(\ \ bm {n} \开始{数组}{ccc} 1 & - \压裂{1}{2}& - \压裂{1}{2}\ \ 0 & \压裂{\ sqrt{3}}{2} & - \压裂{\ sqrt{3}}{2} \ \ 1 & 1 & 1 \ \ \{数组}结束\右)$

因此，仿射变换矩阵为 $\ bm{一}$的 $\ bm{一}。\ bm {o} = \ bm {n}$．

这个问题可以通过 $\ bm{一}= \ bm {n}。\ bm {o} ^ {1}$．注意以下，因为矩阵乘法是不交换的，也就是说，被乘数不能对换，也就是的倒数 $\ bm {o}$要去哪一边 $\ bm {n}$那 $\ bm {o}$是在上 $\ bm{一}$之前。因为，在本文中，列向量和左侧矩阵乘法是按照惯例使用的，这意味着 $\ bm {o} ^ {1}$会去正确的的一面 $\ bm {n}$．另外，注意if $\ bm {o}$也就是说原始点在公共子空间中，例如在二维情况下共线，在三维情况下共面，等等。

$\ bm {n}。\ bm {o}^{-1}= \left( \begin{array}{ccc} -\frac{3}{16} & \frac{3}{8} & -\frac{1}{8} \\ -\frac{1}{16} \left(5 \sqrt{3}\right) & -\frac{1}{8} \left(3 \sqrt{3}\right) & \frac{\sqrt{3}}{8} \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

逆变换是正变换的矩阵逆: $左(\ \{数组}{ccc} 2 & -开始\压裂{2}{\ sqrt{3}} & 0 \ \ \压裂{5}{3}& - \压裂{1}{\ sqrt{3}} & \压裂{1}{3}\ \ 0 & 0 & 1 \ \ \{数组}结束\右)$

电影的每一帧都是 $\压裂{1}{180}$全部仿射变换从全部到无再返回。

仿射空间．