邻接矩阵是数字数组,表示所有有关的图中的信息。一些图形对应于它的邻接矩阵的令人感兴趣的性质,并且反之亦然的性质。下面是一个简单的例子:
m
2N
2m
都不是
N
让
G是一个简单的图形用
N顶点和
m边缘:那就是,
G是无向,未加权,并没有循环(从顶点边缘本身)。
让
一种是邻接矩阵
G然后让
你=(11......1)是
1×N矩阵,其项都等于
1。然后
你一种你T.是A.
1×1矩阵
(B.)。什么是
B.还是
符号: 如果
B.是一个矩阵,
B.T.表示其转。
鲍尔斯:其中最知名的方式来获得关于从邻接矩阵运算图形信息都可以通过它的权力。如下面的示例所示,关于在图上的路径的邻接矩阵提供信息的权力的条目。
让
一种是一个简单的图形与所述邻接矩阵
6.顶点。假设入境
一种2在里面
3.rd.行和
4.TH.列
5.。这是什么意思关于该图?
认为
一种=(一种一世j)。然后是
3.那4.进入
一种2是
一种3.1一种14.+一种3.2一种24.+一种3.3.一种3.4.+一种3.4.一种4.4.+一种3.5.一种5.4.+一种3.6.一种6.4.。
考虑
一种3.1一种14.。这个计数的从顶点3〜1路径的数量,再乘以的路径从该数顶点1到顶点4.这也正是从顶点3两步路径的数目到顶点4穿过顶点1.其它术语
一种3.K.一种K.4.计数的从顶点3两步路径的数目到顶点4穿过顶点
K.。所以总和计算所有从两步路的顶点3到顶点4的结论是,有
5.从顶点3两步路径顶点4。
□
所以
一世那j的条目
一种2算上两步走,从
一世到
j。这个概括如下:
让
一种是一个图的邻接矩阵。这
一世那j进入
一种N计数
N- 工序从顶点走
一世到顶点
j。
(证明是一个简单的归纳
N那其中参数是基本相同的,作为以上给出的一个
一种2。)
光谱:的研究特征值的曲线图的邻接矩阵的被称为谱图理论。下面是曲线图属性和邻接矩阵的特征向量之间的对应关系的一个简单的例子:
无向图是
K.-常规的如果程度的每个顶点
K.。有什么可以说有关的邻接矩阵的特征值和特征向量
K.-regular图?
让
一种是一个的邻接矩阵
K.-regular图。让
V.在全1列向量
R.N。然后是
一世TH.进入
一种V.等于在条目的总和
一世TH.行
一种。这是从顶点发射的边的数量
一世那这正是
K.。所以
一种⎝⎜⎜⎜⎛11⋮1⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎛K.K.⋮K.⎠⎟⎟⎟⎞=K.⎝⎜⎜⎜⎛11⋮1⎠⎟⎟⎟⎞那IE。
V.是的特征向量
一种与特征值
K.。
□
同构:两个图都表示,如果一个可从其它由重新标记的顶点获得同构。需要注意的是同构的图形不必具有相同的邻接矩阵,自邻接矩阵依赖于顶点的标签。但同构图的邻接矩阵的关系非常密切。
让
G和
H上图是
N与邻接矩阵顶点
一种和
B.。然后
G和
H是同构当且仅当有一个置换矩阵
P.这样
B.=P.一种P.-1。
回想一下,置换矩阵是方阵,其元素都是
0.或者
1那使得每行和每列正好包含一个
1。