绝对融合据/h1>
相关......据/h4>
- 结石据/S.pan>>据/S.pan>
我们经常想要操纵无限系列。我们可能希望将它们乘以并将产品识别为另一个无限系列。例如,我们可以考虑无限几何系列的产品据/p>
(据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>N.据/S.pan>那据/S.pan>|据/S.pan>X据/S.pan>|据/S.pan>据据/S.pan>1据/S.pan>
本身,获得据S.pan class="katex">
(据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>-据/S.pan>2据/S.pan>。尝试将无限序列术语乘以术语,然后收集术语,获得新的无限系列是很自然的据/p>
(据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>-据/S.pan>2据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>m据/S.pan>)据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>N.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>m据/S.pan>那据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>X据/S.pan>m据/S.pan>+据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>N据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>N据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>X据/S.pan>N据/S.pan>那据/S.pan>|据/S.pan>X据/S.pan>|据/S.pan>据据/S.pan>1据/S.pan>。据/S.pan> 此操作的结果有效,但为什么?如果我们用不同的一对系列尝试了这个技巧,最终结果可能不是真的。财产据S.trong>绝对融合据/S.trong>是使计算如上有效的计算是必要的。据/p>
定义据/h2>
为简单起见,我们将根据真正的系列限制自己。结果主要是持有一系列复杂术语,但证明可能更复杂。据/p>
无限系列据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>
叫实际术语据S.trong>绝对融合据/S.trong>如果是一系列积极的术语据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>
收敛。显然,任何融合系列的积极术语绝对收敛,但有很多系列与阳性和负面术语来考虑!据/p>
命题1据/S.trong>
任何完全融合系列本身都会收敛。据/p>
注意据/p>
|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>R.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>S.据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>≤.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>R.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>S.据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>
对所有人据S.pan class="katex"> S.据/S.pan>>据/S.pan>R.据/S.pan>。自从据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>是收敛的,它是一个Cauchy系列。上述不等式表明该系列据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>因此是Cauchy本身,因此是会聚。据S.pan class="katex"> □据/S.pan>
交谈不是真的;有没有绝对收敛的收敛系列。考虑据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>N.据/S.pan>(据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>。据/S.pan>
这个系列会聚到据S.pan class="katex"> LN.据/S.pan>2据/S.pan>但不是绝对收敛,自从据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>∞据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>发散。据/p>
乘以系列据/h2>
如果我们乘以系列据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>X据/S.pan>N.据/S.pan>和据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>X据/S.pan>N.据/S.pan>
单词逐个学期并收集像幂一样据S.pan class="katex"> X据/S.pan>,我们导致了表达据/p>
(据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>X据/S.pan>N.据/S.pan>)据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>X据/S.pan>N.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>0.据/S.pan>B.据/S.pan>0.据/S.pan>+据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>0.据/S.pan>B.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>B.据/S.pan>0.据/S.pan>)据/S.pan>X据/S.pan>+据/S.pan>(据/S.pan>一种据/S.pan>0.据/S.pan>B.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>B.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>一种据/S.pan>2据/S.pan>B.据/S.pan>0.据/S.pan>)据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>⋯据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>(据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>m据/S.pan>)据/S.pan>X据/S.pan>N.据/S.pan>那据/S.pan>
这导致我们询问系列之间的关系据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>-据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>那据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>那据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>那据/S.pan>
通过定义从前两个获得第三系列的位置据/p>
C据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>m据/S.pan>那据/S.pan>N.据/S.pan>≥据/S.pan>0.据/S.pan>。据/S.pan>
如果起始系列绝对收敛,那么我们得到了最佳结果。据/p>
命题2据/S.trong>
如果是系列据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>和据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>绝对会聚,那么是据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>, 和据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>)据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>)据/S.pan>。据/S.pan>
假设据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>=据/S.pan>一种据/S.pan>和据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>|据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>=据/S.pan>B.据/S.pan>。然后据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>|据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>≤.据/S.pan>=据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>m据/S.pan>|据/S.pan>m据/S.pan>+据/S.pan>N.据/S.pan>≤.据/S.pan>N据/S.pan>σ.据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>≤.据/S.pan>(据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>|据/S.pan>)据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>|据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>)据/S.pan>≤.据/S.pan>一种据/S.pan>B.据/S.pan>
对所有人据S.pan class="katex"> N据/S.pan>≥据/S.pan>0.据/S.pan>, 因此据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>|据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>收敛,这意味着据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>绝对会聚。据/p>
现在假设据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>α.据/S.pan>和据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>β据/S.pan>。我们注意到这一点据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>2据/S.pan>N据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>α.据/S.pan>β据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>)据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>)据/S.pan>-据/S.pan>α.据/S.pan>β据/S.pan>+据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>N据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>2据/S.pan>N据/S.pan>-据/S.pan>N.据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>+据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>B.据/S.pan>m据/S.pan>]据/S.pan>
因此据/p>
|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>2据/S.pan>N据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>α.据/S.pan>β据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>≤.据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>(据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>)据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>)据/S.pan>-据/S.pan>α.据/S.pan>β据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>+据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>N据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>|据/S.pan>B.据/S.pan>m据/S.pan>|据/S.pan>+据/S.pan>B.据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>N据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>|据/S.pan>那据/S.pan>
这意味着,在放手时据S.pan class="katex"> N据/S.pan>→据/S.pan>∞据/S.pan>, 那据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>α.据/S.pan>β据/S.pan>, 按要求。据S.pan class="katex"> □据/S.pan>
值得注意的是,如果涉及的系列不是绝对收敛,则此结果不会自动保持。一个不是绝对收敛的收敛系列据S.trong>有条件地融入据/S.trong>。据/p>
假设据S.pan class="katex"> 一种据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>N.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan> (据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>N.据/S.pan>对所有人据S.pan class="katex"> N.据/S.pan>≥据/S.pan>0.据/S.pan>。然后是相同的系列据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>和据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>既有条件地收敛。如果我们考虑该系列据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>, 然后据/p>
C据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>m据/S.pan>B.据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>N.据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N.据/S.pan>(据/S.pan>m据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>m据/S.pan>)据/S.pan> 1据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>≥据/S.pan>0.据/S.pan>)据/S.pan>。据/S.pan>
使用AM-GM不等式,我们看到了据/p>
|据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>≥据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>N.据/S.pan>N.据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>=据/S.pan>N.据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>2据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>≥据/S.pan>1据/S.pan>
对所有人据S.pan class="katex"> N.据/S.pan>≥据/S.pan>0.据/S.pan>。因此系列据S.pan class="katex"> σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>C据/S.pan>N.据/S.pan>甚至没有收敛(更不用说不收敛到所需的限制)。据/p>
电源系列据/h2>
由于以这种方式乘以系列和收集术语是一个非常常见的工具,因此解决了实现许多系列绝对收敛的令人放心。特别是,无论在何处都有(基本上),Maclaurin和Taylor系列的功能都是完全收敛的。一种据S.trong>电源系列据/S.trong>是一个无限的形式系列据/p>
一种据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>X据/S.pan>N.据/S.pan>
对于一些常数据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>0.据/S.pan>那据/S.pan>一种据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>一种据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>......据/S.pan>。任何Maclaurin系列都是这种类型的扩展。任何权力系列都拥有一个关键定理据S.trong>收敛半径据/S.trong>。换句话说,存在一个数字据S.pan class="katex">
R.据/S.pan>,这可能是任何事情据S.pan class="katex">
0.据/S.pan>和据S.pan class="katex">
∞据/S.pan>,这样据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>∞据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>X据/S.pan>N.据/S.pan>绝对融合据S.pan class="katex">
|据/S.pan>X据/S.pan>|据/S.pan>据据/S.pan>R.据/S.pan>和发散据S.pan class="katex">
|据/S.pan>X据/S.pan>|据/S.pan>>据/S.pan>R.据/S.pan>。据/p>
请注意,这告诉我们据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>所有非零的分歧据S.pan class="katex">
X据/S.pan>在这种情况下据S.pan class="katex">
R.据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>, 然后据S.pan class="katex">
一种据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>绝对是真实的融合据S.pan class="katex">
X据/S.pan>在这种情况下据S.pan class="katex">
R.据/S.pan>=据/S.pan>∞据/S.pan>。例如,据/p>
通常执行的功率系列的所有正式操作都是合理的,条件是它们是针对值执行的据S.pan class="katex">
X据/S.pan>这少于分析所有电力系列的收敛半径。据/p>
但是,虽然每个无限不同的功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>有一个Maclaurin系列,每个Maclaurin系列都有一个融合半径,这两个事实并不意味着Maclaurin系列据S.pan class="katex">
F据/S.pan>融合到据S.pan class="katex">
F据/S.pan>,即使在收敛的间隔内!例如,功能据/p>
F据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>{据/S.pan>E.据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>/据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>0.据/S.pan>X据/S.pan>据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan> 无限不同,与据S.pan class="katex">
F据/S.pan>(据/S.pan>N.据/S.pan>)据/S.pan>(据/S.pan>0.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>对于所有整数据S.pan class="katex">
N.据/S.pan>≥据/S.pan>0.据/S.pan>。因此Maclaurin系列据S.pan class="katex">
F据/S.pan>相同为零,因此具有无限的收敛半径。但是,Maclaurin系列据S.pan class="katex">
F据/S.pan>只同意据S.pan class="katex">
F据/S.pan>当时据S.pan class="katex">
X据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>。确定哪些函数可以由其Maclaurin系列表示是一种非活动物质,最容易使用复杂分析解决;重要的是,所有的“标准”功能(权力,指数,三角函数等)确实与Maclaurin系列同意,并且我们必须发现示例作为上面的病态,以找到一个反例。据/p>
重新排列系列据/h2>
如果我们采取无限系列的条款,会发生什么,并以不同的顺序添加它们?如果系列绝对收敛,答案是“没有”!一种据S.trong>重新排列据/S.trong>一系列据S.pan class="katex">
σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>是通过排列获得的据S.pan class="katex">
π据/S.pan>,自杀据S.pan class="katex">
π据/S.pan>:据/S.pan>N据/S.pan>→据/S.pan>N据/S.pan>,可用于定义重新排列的系列据S.pan class="katex">
σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>π据/S.pan>N.据/S.pan>。据/p>
命题3.据/S.trong> 如果据S.pan class="katex">
σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>是一个绝对的收敛系列,如果据S.pan class="katex">
π据/S.pan>:据/S.pan>N据/S.pan>→据/S.pan>N据/S.pan>然后重新排列其术语据S.pan class="katex">
σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>π据/S.pan>N.据/S.pan>绝对会聚,和据S.pan class="katex">
σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>π据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>。据/p>
对于任何一个据S.pan class="katex">
N据/S.pan>∈据/S.pan>N据/S.pan>, 让据S.pan class="katex">
m据/S.pan>(据/S.pan>N据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>m据/S.pan>一种据/S.pan>X据/S.pan>{据/S.pan>π据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>......据/S.pan>那据/S.pan>π据/S.pan>N据/S.pan>}据/S.pan>。然后据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>π据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>≤.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>m据/S.pan>(据/S.pan>N据/S.pan>)据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>≤.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>那据/S.pan> 因此据S.pan class="katex">
σ.据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>π据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>据据/S.pan>∞据/S.pan>然后重新排列的系列绝对收敛。据/p>
假设据S.pan class="katex">
σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>α.据/S.pan>。对于任何一个据S.pan class="katex">
N据/S.pan>∈据/S.pan>N据/S.pan>, 我们可以找据S.pan class="katex">
L.据/S.pan>(据/S.pan>N据/S.pan>)据/S.pan>∈据/S.pan>N据/S.pan>这样据S.pan class="katex">
{据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>......据/S.pan>那据/S.pan>N据/S.pan>}据/S.pan>⊆据/S.pan>{据/S.pan>π据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>π据/S.pan>2据/S.pan>那据/S.pan>......据/S.pan>那据/S.pan>π据/S.pan>L.据/S.pan>(据/S.pan>N据/S.pan>)据/S.pan>}据/S.pan>, 以便据S.pan class="katex">
σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>m据/S.pan>一种据/S.pan>π据/S.pan>N.据/S.pan>等于据S.pan class="katex">
σ.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>N据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>加上任何一些额外的条款据S.pan class="katex">
m据/S.pan>≥据/S.pan>L.据/S.pan>(据/S.pan>N据/S.pan>)据/S.pan>。但这意味着据/p>
|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>m据/S.pan>一种据/S.pan>π据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>α.据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>≤.据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>α.据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>|据/S.pan>+据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>N据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>|据/S.pan>一种据/S.pan>N.据/S.pan>|据/S.pan> 对所有人据S.pan class="katex">
m据/S.pan>≥据/S.pan>L.据/S.pan>(据/S.pan>N据/S.pan>)据/S.pan>;从这里,我们推断出来据S.pan class="katex">
σ.据/S.pan>N.据/S.pan>一种据/S.pan>π据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>α.据/S.pan>, 按要求。据S.pan class="katex">
□据/S.pan> 是什么奇怪的是,如果我们尝试重新排列的系列是收敛的,但不是绝对融合,那么上面的结果不是真的。可理由的收敛系列可以重新排列以收敛到所需的任何限制。据/p>
考虑该系列据/p>
X据/S.pan>=据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>∞据/S.pan>N.据/S.pan>(据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>4.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>5.据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>⋯据/S.pan>。据/S.pan> 当它站立时,据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>2据/S.pan>N据/S.pan>N.据/S.pan>(据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>2据/S.pan>N据/S.pan>N.据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>2据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>2据/S.pan>N.据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>LN.据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>S.据/S.pan>2据/S.pan>N据/S.pan>-据/S.pan>S.据/S.pan>N据/S.pan>那据/S.pan> 在哪里据/p>
S.据/S.pan>m据/S.pan>=据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>m据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>LN.据/S.pan>m据/S.pan>。据/S.pan>自从据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>m据/S.pan>→据/S.pan>γ.据/S.pan>,欧拉常数,如据S.pan class="katex">
m据/S.pan>→据/S.pan>∞据/S.pan>,我们推断出来据/p>
X据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>4.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>⋯据/S.pan>=据/S.pan>LN.据/S.pan>2据/S.pan>。据/S.pan> 现在考虑我们在不同的顺序中添加相同术语的系列:据/p>
X据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>5.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>7.据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>4.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>9.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>6.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>⋯据/S.pan>那据/S.pan> 这样我们加两个正倒数,那么一个负面的倒数,那么两个积极的倒数,那么是一个负面的一个,那么依此类推。我们正在添加相同的数字,所以应该得到相同的答案据S.pan class="katex">
LN.据/S.pan>2据/S.pan>, 您认为?恐怕没有。如果我们加起来第一个据S.pan class="katex">
3.据/S.pan>N据/S.pan>术语据S.pan class="katex">
(据/S.pan>首先据S.pan class="katex">
N据/S.pan>三个街区据S.pan class="katex">
)据/S.pan>那据/S.pan>我们得到了据/p>
N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>2据/S.pan>N据/S.pan>2据/S.pan>N.据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>σ.据/S.pan>N据/S.pan>2据/S.pan>N.据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>S.据/S.pan>4.据/S.pan>N据/S.pan>-据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>S.据/S.pan>2据/S.pan>N据/S.pan>-据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>S.据/S.pan>N据/S.pan>+据/S.pan>2据/S.pan>3.据/S.pan>LN.据/S.pan>2据/S.pan>;据/S.pan> 卖据S.pan class="katex">
N据/S.pan>→据/S.pan>∞据/S.pan>表明据S.pan class="katex">
X据/S.pan>1据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>3.据/S.pan>LN.据/S.pan>2据/S.pan>。可以证明任何实数据S.pan class="katex">
你据/S.pan>,可以发现系列的条款的重新排列,这将使总和会聚到据S.pan class="katex">
你据/S.pan>。同样很好地,可以找到重排,这使得串联偏离,甚至振荡据S.pan class="katex">
-据/S.pan>1据/S.pan>和据S.pan class="katex">
1据/S.pan>如果这是我们想要的。据/p>
如何获得融合到的重新排列据S.pan class="katex">
你据/S.pan>:据/S.trong>
2据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>4.据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>6.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>8.据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>3.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>0.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>1据/S.pan>2据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>5.据/S.pan>1据/S.pan>+据/S.pan>⋯据/S.pan> 上面的系列是通过重新排列交替谐波系列的术语来获得的。如果收敛,则确定舍入到三个小数位的系列的近似值;否则,输入0。据/p>
添加正倒数直到总和超过据S.pan class="katex">
你据/S.pan>然后添加负倒数直到总和小于据S.pan class="katex">
你据/S.pan>。然后添加正倒数直到总和大于据S.pan class="katex">
X据/S.pan>然后添加负倒数直到总和小于据S.pan class="katex">
你据/S.pan>。我们可以无限期地重复这个食谱。由于我们在每个循环中使用至少一个正负互换,因此新系列将恰好包含一次 - 我们重新排列这些术语。还清楚重新排列的系列趋于据S.pan class="katex">
你据/S.pan>。据/p>