绝对值

的绝对值的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数" target="_blank">实数号码的距离是多少 $0$在一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sat-number-line/" class="wiki_link" title="数轴" target="_blank">数轴．的绝对值 $x$被编写为 $左| x \ \ |。$例如, $\左|5\右| = \左|-5\右| = 5。$

这是一个特例<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers-absolute-values/" class="wiki_link" title="复数的大小" target="_blank">复数的大小．

在阅读此页之前，您应该了解如何<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/evaluate-equations-at-specific-values/" class="wiki_link" title="表达式求值" target="_blank">表达式求值．如果你想解有绝对值的方程，请看<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/absolute-value-equations/" class="wiki_link" title="绝对值方程" target="_blank">绝对值方程．

想点 $一个$而且 $b$在数轴上假设 $一个= 2$而且 $b = 3。$

比较这两个数字，我们可以很容易地说 $a >$仅仅因为 $一个$是积极的, $b$是负的。如果我们不关心符号而只关心每个数到0的距离呢?然后我们说 $\lvert b \rvert > \lvert a \rvert$或 $3 > 2,$在哪里 $\ lvert \ cdot \ rvert$是绝对值给出各自值的符号 $b$而且 $一个$不顾他们的标志。因此有以下定义:

对于任何实数 $x$我们定义它的绝对值 $\ \ rvert lvert x$如下:

$\lvert x \rvert = \begin{case} -x && \mbox{if}x< 0\\ x && \mbox{if}x \geq 0。\{病例}结束$

那么为什么是绝对值呢?什么时候我们只考虑对零的偏差?假设你的房子位于东西路上，你停在车道上的车是偷来的。如果小偷离你够近，你就想自己出去抓他。否则，你会报警的。根据收集到的信息，据说那个偷车贼已经向东开去了 $2$迈尔斯，不知什么原因，掉头向西开了 $3.$英里。

维基AbsoluteValue2

以东为正，西为负，贼是现 $2 - 3 = 1$一英里外，也就是他的位置 $1$在你家以西一英里的地方。然而，请记住，在决定自己出门还是报警时，你要考虑的唯一因素是，无论方向如何，小偷离你家的距离。那么此时此刻与你相关的计算是 $2 - 3 \ \ lvert rvert = 1$而不是 $2 - 3 = 1。$例如，这就是绝对值发挥作用的地方。有意义吗?

现在，让我们想想更有趣的事情。被盗的车离你家有多远 $左(d_1 \ \右)$大于汽车行驶的距离 $左(d_2 \ \右)$到那儿?从上面我们知道车到你家的距离是 $d_1 = 2 - 3 \ \ lvert rvert = 1$英里。因为汽车行驶的距离是 $D_2 =\lvert 2 \lvert + \lvert -3 \rvert =5>1=d_1，$这个问题的答案 $“\ d_1 > d_2吗?\”,$是否定的。

如果小偷继续往东走，而不是回头向西走，会怎么样呢 $3.$英里?你的答案仍然是否定的吗?让我们看看。在这种情况下，汽车到你家的距离以英里为单位是 $d_1 = \ \ rvert lvert 2 + 3 = 5,$而汽车行驶的距离，单位是英里 $D_2 =\lvert 2 \lvert + \lvert 3 \rvert = 5。$

维基AbsoluteValue3.

由于这两个数字相等，上述问题的答案仍然是否定的。也就是说，你被盗的车离你家的距离永远不会大于它到达你家的距离。一般来说，对于任何实数 $x$而且 $y$ $lvert x+y \rvert \le \lvert x \rvert + \lvert y \rvert，$这是以下部分:

绝对值性质:

1. $| | = | x - x |$
2. $-|x|\leq x \leq |x|$
3. $| | x = y | |$当且仅当 $x = y$或 $x = - y$
4. $| x ^ n | = | | ^ n$对于任何正整数 $n$
5. $| xy | x = | | \ cdot y | |$
6. $左| \ \压裂{x} {y} \右| = \压裂{x | |} {y | |}$如果 $y \ neq 0$
7. $| x y | \ \点leq x y | + | | |$

下面是一些使用上述属性计算绝对值的示例:

计算 $-2.5 | 3.5 | - | |。$

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我们有

$-2.5 | 3.5 | - | | = 3.5 - -2.5 = 1。\ _ \广场$

计算 $|\pi - 2| + |\pi - 3| + |2\pi - 7|。$

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的数量 $\π- 2$而且 $\π- 3$都是正的，所以当绝对条下降时，它们保持不变。然而,由于 $2 \π- 7$是负的，我们有

$| \π- 2 | + | | + | 2 \ \π- 3π- 7 | =(\π- 2)+(\π- 3)+{\颜色{# D61F06}{(7 - 2 \π)}}= 2。\ _ \广场$

评估 $| 6 | 5 \ *。$

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我们有

$| 5 \ * 6 | = 30 | | = 30。\ _ \广场$

求 $\左\lvert 2\times \左(\frac{2}{3}-0.5\右)\右\翻转。$用分数的最低项表示你的答案。

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我们有

${对齐}\ \开始左| 2 \ \左(\压裂{2}{3}-0.5 \)\右| & = \ \ lvert 2 \离开(\压裂{1}{6}\)\ \ rvert \ \ & = \左右\ lvert \压裂{1}{3}\ \ rvert \ \ & = \压裂{1}{3}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

现在，是时候用图形来解释绝对值了。看看下面的图表 $y = \ \ rvert lvert x。$

维基AbsoluteValue4

你看到了吗，它完全是由绝对值和的定义画出来的 $y$总是非负的?你看到那条红色的虚线了吗 $y = x$为 $x < 0,$是对着 $x$-轴使负的值 $y$成为积极的?

关于偷车贼的例子，让我们说，如果坏人在车内，车主想要出去亲自抓贼 $4$离他家几英里远。那么在第一种情况下，小偷的下场 $1$在他家以西一英里的地方 $(\{即文本。} x = 1)$小偷就是这样 $y = x \ \ lvert rvert = - (- x) = (1) = 1$离家一英里远，他不叫警察，而是自己出去了。相反，在第二种情况下，小偷的下场 $5$在他家东边几英里的地方 $(\{即文本。} x = 5)$小偷就是这样 $y = \ \ rvert lvert x = x = 5$在离家几英里远的地方，他会报警。

现在，如果车主的房子位于 $x = 3$而不是 $x = 0$首先和偷车贼的行为方式是一样的?图形会有多大的不同?答案就在下面:

维基AbsoluteValue5

由于房子位于 $x = 3$在这种新的情况下，第一种情况中的小偷没有结束 $x = 1$但 $x = 3 + (1) = 2$英里以东的 $x = 0$所以他离主人的房子的距离是 $y = \ lvert x - 3 \ rvert = - (- 3) = - = 1 (2 - 3)$英里。 $（$如果你注意到这一点，你就会明白 $y = \ \ rvert lvert x$在上面的例子中可以认为是 $y = \ lvert x \ rvert。)$

在第二种情况下，小偷最终没有死 $x = 5$但 $x = 3 + 5 = 8$英里以东的 $x = 0$所以他离主人的房子的距离是 $y = \ lvert x - 3 \ rvert = 3 = 8 - 3 = 5$英里。因此，上图方程为 $y = \ lvert x - 3 \ rvert,$这里的红色虚线，是哪个图形 $y = x - 3$为 $x < 3,$是对着 $x$设在在 $x = 3$因为现在是基准 $x = 3$而不是 $x = 0。$

现在我们知道如何得到的图形 $y = \ lvert x - 3 \ rvert,$这是 $V$形状，让我们试着得到一个 $W$形图。要做到这一点，我们首先平移图像 $y = \ lvert x - 3 \ rvert$通过 $2$在。的负方向 $y$-轴，如下图所示，平移后图形的方程为 $y = \ lvert x - 3 \ rvert-2。$

维基AbsoluteValue6

然后我们会问，什么是 $Y =大\lvert \lvert x-3 \rvert -2 \大\rvert$看起来像什么?”因为所有的值 $y$为 $1 < x < 5$在图中 $y = \ lvert x - 3 \ rvert-2$为负值时，我们将这部分图翻转得到如下结果，就像我们在上面所做的那样:

维基AbsoluteValue7

你真的看到了吗 $W$形图了吗?你脑海中自然会出现的一个问题是如何画出 $Y =大\lvert \lvert x-3 \rvert -2 \大\rvert$从头开始，没有提到小偷的例子。我们可以使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-inequalities/" class="wiki_link" title="线性不等式" target="_blank">线性不等式来完成这一任务。

从方程中观察 $Y =大\lvert \lvert x-3 \rvert -2 \大\rvert$,如果 $\lvert x-3 \rvert \ge 2，$然后 $Y =\lvert x-3 \rvert - 2。$这可以重写为以下两种情况: $\begin{对齐}x-3\ge 2\左\ge 5 \右\ y&=(x-3)-2\\ &=x-5 &\qquad (1) \ x-3\le -2\左\ge x &=(x-3)-2\\ &=-x+1。& \ qquad结束(2)\{对齐}$你能否证实 $(1）$对应于上图的 $x \通用电气5$而且 $（2）$对应于上图的 $x \勒1 ?$我认为你已经做到了。

同理，从方程中观察 $Y =大\lvert \lvert x-3 \rvert -2 \大\rvert$,如果 $\lvert x-3 \rvert < 2，$然后 $y = (\ lvert x - 3 \ rvert - 2) = - \ lvert x - 3 \ rvert + 2,$这就相当于 $2$这可以重写为以下两种情况: $开始\{对齐}1 < x < 3 \ Rightarrow y = - (- (3) + 2) \ \ & = x - 1 & \ qquad (3) le x < 5 \ \ 3 \ \ Rightarrow y = - ((3) + 2) \ \ & = - x + 5。& \ qquad结束(4)\ \ \{对齐}$你能否再次证实 $（3）$对应于上图的 $1 < x < 3$而且 $（4）$对应于上图的 $3 \ le x < 5 ?$我相信你已经做到了。

现在，您可以尝试一些示例。

下面哪个选项是的图形 $y = \压裂{x} {\ lvert x \ rvert}$为 $x \ ne 0 ?$

维基AbsoluteValue8

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如果 $x > 0,$然后 $\ \ rvert lvert x = x,$这意味着 $y = \压裂{x} {\ lvert x \ rvert} = \压裂{x} {x} = 1。$如果 $x < 0,$然后 $\ \ rvert lvert x = - x,$这意味着 $y = \压裂{x} {\ lvert x \ rvert} = \压裂{x} {- x} = 1。$因此，正确的答案是 $(c) \ _ \广场$

下列哪个条件不总是满足 $x = x \ \ lvert rvert吗?$

(一) $x$是一个非负实数。
(b) $x$是一个正实数。
(c) $x$是一个正整数。
(d) $x$是一个非零实数。

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如果 $x \通用电气0,$然后 $\ \ rvert lvert x = x,$这意味着 $x = \ \ rvert lvert x$适用于所有非负实数。因此, $(一),(b)$而且 $(c)$总是满足 $x = \ \ rvert lvert x。$

如果 $x < 0,$然后 $\ \ rvert lvert x = - x,$这意味着 $x = \ \ rvert lvert x$永远适用于 $x < 0。$

因此，正确的答案是 $(d)。\ _ \广场$

考虑到 $a, b, c$是否为非零实数，求表达式的所有可能值 $\ dfrac{一}{| |}+ \ dfrac {b} {b | |} + \ dfrac {c} {c | |}$．

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自 $x \ dfrac {x} {| |} = 1$对于任何 $x > 0$而且 $x \ dfrac {x} {| |} = 1$对于任何 $x < 0$，

$\ dfrac{一}{| |}+ \ dfrac {b} {b | |} + \ dfrac {c} {c | |} = 3$如果 $a, b, c$都是消极的;

$\ dfrac{一}{| |}+ \ dfrac {b} {b | |} + \ dfrac {c} {c | |} = 1$如果恰好有两个 $a, b, c$是消极的;

$\ dfrac{一}{| |}+ \ dfrac {b} {b | |} + \ dfrac {c} {c | |} = 1$如果恰好是 $a, b, c$是负的;

$\ dfrac{一}{| |}+ \ dfrac {b} {b | |} + \ dfrac {c} {c | |} = 3$如果 $a, b, c$都是积极的。

因此，给定表达式的可能值为 $3、1、1$而且 $3.\ _ \广场$

解方程 $|x-2| + |x-3| = 1。$

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我们需要讨论三个案例: $\begin{case} x\leq 2 \\ 2$

• 当 $x \ leq 2$，
  $| x - 2 | + | 3 | = 1 \ Rightarrow (2 x) +(法)= 1 \ Rightarrow x = 2。$

• 当 $2 < x \ leq 3$，
  $| x - 2 | + | 3 | = 1 \ Rightarrow (x - 2) +(法)= 1 \ Rightarrow$任何 $x \ (2,3)$是一个解决方案。

• 当 $x > 3$，
  $| x - 2 | + | 3 | = 1 \ Rightarrow (x - 2) + (3) = 1 \ Rightarrow x = 3。$
  但是既然我们假设 $x > 3$在美国，这种情况没有解决办法 $x > 3$．

最后是方程的解 $| x - 2 | + | 3 | = 1$是 $2 \leq x \leq 3$． $_ \广场$

求的最小值 $| x + 1 | + | x - 2 | + | 3 |$．

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案例1:当 $x \ leq 1$，

$| x + 1 | + | x - 2 | + | 3 | = - (x + 1) (x - 2) - (3) = 4-3x \组7。$

案例2:当 $1 < x \ leq 2$，

$|x+1|+|x-2|+|x-3| = (x+1)-(x-2)-(x-3)=6-x \geq 4。$

案例3:当 $2 \ leq x < 3$，

$|x+1|+|x-2|+|x-3|= (x+1)+(x-2)-(x-3)=x+2 \geq 4。$

案例4:当 $3 \ leq x$，

$| x + 1 | + | x - 2 | + | 3 | = (x + 1) + (x - 2) +(3) = 3 * 4 \组5。$

因此,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/global-extrema/" class="wiki_link" title="全球最低" target="_blank">全球最低给定表达式的4． $_ \广场$