绝对值方程

绝对值方程方程是否包含表达式<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/absolute-value/" class="wiki_link" title="绝对值的函数" target="_blank">绝对值的函数．本wiki旨在演示和讨论解决这些方程的技巧。

一个非常基本的例子如下:

的所有值 $x$令人满意的 $|x-2| + |x-4| = 4。$

通常，基本方法是分析函数在达到0点之前和之后的行为。例如,对于 $x | |$我们可以分析一下 $x >$或 $x <$,甚至 $x =一个$如果需要。然而，这些问题通常可以通过更复杂的方法来简化，比如能够消除一些情况，或者绘制函数图形。在本维基中，我们打算讨论这种技术以及何时使用哪种技术的策略。

• 绝对值方程简介

• 求解绝对值方程的方法:用于求解绝对值方程的技术以及何时使用哪种技术

举个例子来描述以下方法:

1)理解绝对值——正负情况(或图法)
2)确定可能的解决方案
3)验证解决方案

解释-我们如何使用这个技术来解绝对值方程?

• 记得验证可能的解决方案——为什么和如何验证?

• 2-3个例子，按难度递增的顺序，解释我们如何将两方相加来解决更困难的问题

• 然后是1-2个TIY问题——相关的问题需要通过案例工作技巧来解决

假设我们有一个这样的方程 $\lvert a \rvert = \lvert b \rvert$．因为两边都是正的，我们可以平方它们，而不添加额外的解: $a ^ 2 = ^ 2。$然后将其解为普通方程: $\begin{aligned} a^2-b^2&=0 \\ (a+b)(a-b)&=0。结束\{对齐}$我们看到了 $一个= - b$或 $a = b$．

解方程 $\lvert 3x+4 \rvert = \lvert 2x-7 \rvert$真实的 $x$．

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两边平方得到 $(3 x + 4) ^ 2 = (2 x 7) ^ 2。$这里我们不需要两边展开;只要应用两个平方的差就可以得到因数: $\{对齐}开始(3 x + 4 + 2 x 7) (3 x + 4-2x + 7) & = 0 \ \ (5 - 3) (x + 11) & = 0。结束\{对齐}$解决方案是 $左\ \{\压裂{3}{5},-11 \ \}。\ _ \广场$

因为绝对值可以定义为分段函数，取决于的值 $x$是关于数轴的，你必须处理分段函数的另一部分。

一般的步骤:

1. 使用绝对值的定义作为分段函数，“撤消”绝对值符号并编写case。例如，我们知道绝对值符号中的表达式可以是正的，也可以是负的。

2. 解决每一个案例 $x$．

3. 验证的解决方案。

求出的所有实值 $x$这样 $| 3x - 4 | - 2 = 3。$

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我们首先将绝对值分离到一边:

$\开始{对齐}| 3 x 2 - 4 | & = 3 \ \ | 3 x - 4 | & = 5。结束\{对齐}$

现在，我们“撤销”绝对值符号，将方程分为两种情况，正的情况和负的情况:

$\{数组}{rlcccrl}开始(3 x - 4) & = 5 & & \文本{或}& & - (3 x - 4) & = 5 \ \ 3 x - 4 & = 5 & & \文本{或}& & 3 x + 4 & = 5 \ \ 3 x & = 9 & & \文本{或}& & 3 x x & = & = 1 \ \ 3{或}& & & & \文本x & = - \压裂{1}{3}。\ \ _ \广场结束数组{}$

求出的所有实值 $x$这样 $|x+1| + |2x+3| = 5$．

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有四种可能的情况，但其中一种由于不可能而被排除:

案例1。如果 $x + 1$而且 $2 x + 3$那么两者都是积极的吗
$\{对齐}开始x + 1 + 2 + 3 & = x + 4 & 5 \ \ 3 = 5 \ \ 3 x x & = & = 1 \ \ \ dfrac{1}{3}。结束\{对齐}$

例2。如果 $x + 1$是负的, $2 x + 3$是积极的,那么 $开始\{对齐}- x - 1 + 2 + 3 & = 5 \ \ x + 2 & = 5 \ \ & = 3。结束\{对齐}$然而,当 $x = 3$， $x + 1$而且 $2 x + 3$都是正的，所以这不是方程的有效解。

例3。如果 $x + 1$而且 $2 x + 3$那么两者都是否定的吗 $\开始{对齐}- x - 1 - 2 x - 3 & = 5 \ \ 3 x - 4 & = 5 \ \ 3 x & = 9 \ \ & = 3。结束\{对齐}$

例4。如果 $x + 1$是积极的, $2 x + 3$是负的，这是不可能的情况。如果你不相信，画两条线。

因此，解集为 $\左\{-3，\frac{1}{3} \右\}。\ _ \广场$

求出的所有实值 $x$这样

$| x + 2 | + | 2 x + 6 | + | 3 - 3 | = 12。$

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在这个问题中，我们要处理3项绝对值。它们的转折点(的值) $x$使它们改变符号)，这三项的是 $x = 2, x = 3, x = 1,$分别。因此，我们需要检查案例 $-\ inty < x \leq -3$， $3 < x \ leq 2$， $2 < x \leq 1$， $1 < x < \ infty$．

案例1。 $\， -\infty < x \leq -3$
在这种情况下，这三项总是负的。因此, $\开始{对齐}- (x + 2) (2 x + 6) -(3 - 3)和x & = - = 12 \ \ \压裂{17}{6}。结束\{对齐}$然而, $x = - \压裂{17}{6}> 3$不在域中 $-\ inty < x \leq -3$．因此，这个解是无效的。

例2。 $< x \ leq 2 \ 3$
在本例中，这三项将分别为负、正和负。因此, $\开始{对齐}- (x + 2) + x + 6(2) -(3 - 3)和x & = - = 12 \ \ \压裂{5}{2}。结束\{对齐}$ $x = - \压裂{5}{2}$隔 $3$而且 $－2$．因此 $\盒装{x = - \压裂{5}{2}}$是其中一个解。

例3。 $\， -2 < x \leq 1$
在本例中，这三项将分别为正、正和负。然而, $\begin{aligned} (x+2)+(2x+6)-(3x-3)=11 \neq 12。结束\{对齐}$因此，在这个领域内没有解。

例4。 $< x < \ infty \, 1$
在这种情况下，这三项总是正的。因此, $\{对齐}开始(x + 2) + x + 6 (2) + (3 - 3) & = 12 \ \ x & = \压裂{7}{6},结束\{对齐}$位于之间的 $1$而且 $\ infty$．因此 $x = \ \盒装{压裂{7}{6}}$是另一个解决方案。

总之, $x = - \压裂{5}{2}$而且 $x = \压裂{7}{6}$是给定方程的解。 $_ \广场$

求出的所有实值 $x$这样 $x | | | x + 1 | = 2$．

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案例1。 $\ x, x + 1$两个正面
$\{对齐}开始x (x + 1) 2 & = 0 \ \ x ^ 2 + x - 2 & = 0 \ \ & = 1, x = 2。结束\{对齐}$拒绝 $x = 2$因为它不会两者都产生 $x$而且 $x + 1$积极的。

例2。 $\ x$负的, $x + 1$积极的
$开始\{对齐}- x (x + 1) 2 & = 0 \ \ - x ^ 2 - x - 2 & = 0 \ \ x ^ 2 + x + 2 & = 0 \ \ & = \ dfrac{1 \ \下午√{1 - 4 1 \ \ cdot cdot 2}}{2}。结束\{对齐}$我们只要求实解，所以现在我们忽略这个例子因为我们要得到虚数结果。

例3。 $\ x$积极的, $x + 1$负
这是一个不可能的情况(画出直线，你就会明白为什么)，所以我们可以忽略它。

例4。 $\ x, x + 1$两个负
因为它们都是负的，负号会抵消变成正数，这就是情形一的情况。但是，这种限制不同于情况1(这里两者都是) $x$而且 $x + 1$必须是消极的，而不是积极的)，所以不是拒绝 $x = 2$,我们拒绝 $x = 1$从这个案例。基本上，在这个具体案例4中， $x = 1$不是可能的解，但这并不意味着它不是情况1的可能解因为我们只是一点一点地考虑分段函数最后我们会取所有可能解的并集。

因此，解决方案是 $\左\{- 2,1 \右\}$． $_ \广场$

有时候，绝对值方程的情况多得不可思议要计算每一种情况都要花费很长时间。因此，我们可以用绝对值作为分段函数的定义来代替画绝对值方程的图。为了得到每一块，你必须算出每一块的定义域。当问题作者问的是答案的数量而不是实际的答案时，这种方法是非常有益的。让我们通过一些例子来了解这是如何实现的。

找到所有真正的解决方案 $3 * 4 | | = 5$．

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为了画出这幅图，有两种可能的情况:当 $3 x - 4$是肯定的，什么时候 $3 * 4$是负的。

是什么时候 $3 * 4$积极的吗? $\开始{对齐}3 x - 4 & > 0 \ \ 3 x & > 4 \ \ & > \ dfrac{4}{3}。结束\{对齐}$(另外,当 $x < \压裂{4}{3}$， $3 x - 4$将负面的。)

我们知道，会有一个“转折点”在 $x = \压裂{4}{3}$对于 $y = x 4 | 3 |$．

最后，利用绝对值的定义，我们知道当 $x > \压裂{4}{3}$， $Y = 3x - 4$,当 $x \ leqslant \压裂{4}{3}$， $Y = -3x + 4$．我们现在只需要画出来 $y = 5$寻找交叉点。

你可以看到解是 $\左\{-\frac{1}{3}， 3 \右\}。\ _ \广场$．

这种绘图技术的另一个好处是，您不需要验证任何解——因为我们只绘制数学上可能的部分，我们得到了我们正在寻找的所有解，不多也不少。如果你不能从图中分辨出解，你可以简单地解出每种情况的方程。

找到所有真正的解决方案 $|x+1| + |2x+3| = 5$．

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可能的情况是
$\水平间距{0.5厘米}$1. $\ x + 1, 2 x + 3$都是积极的;
$\水平间距{0.5厘米}$2. $\ x + 1$是负的, $2 x + 3$是正的;
$\水平间距{0.5厘米}$3. $\， x+1, 2x + 3$都是负面的。
我们需要算出每一个的定义域。

案例1拥有时 $x > 1$．
案例2拥有时 $-\frac{3}{2} < x< -1$．
案例3拥有时 $x < - \压裂{3}{2}$．

现在，我们来写分段函数。

当 $x > 1$,我们有 $Y = x+1 + 2x + 3 = 3x + 4$．
当 $-\dfrac{3}{2} < x< -1$,我们有 $Y = -x -1 + 2x + 3 = x + 2$．
当 $X < - \dfrac{3}{2}$,我们有 $Y = -x - 1 -2x -3 = -3x -4$．

从图中可以看出，给定方程的解是 $\左\{-3，\frac{1}{3} \右\}。\ _ \广场$．

找到所有真正的解决方案 $x | | | x + 1 | = 2$．

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为了画出图表，我们再次只看可能的情况和它们发生的时间:
$\水平间距{0.5厘米}$1. $\ x, x + 1$两个正面
$\水平间距{0.5厘米}$2. $\ x$负的, $x + 1$积极的
$\水平间距{0.5厘米}$3. $\ x, x + 1$两个负数。

案例1是真的当 $x > 0$．
案例2是真的当 $-1 < x < 0$．
案例3是真的当 $x < 1$．

当 $x > 0$当 $x < 1$,我们有 $Y = x(x+1) = x^2 + x$．
当 $-1 < x < 0$,我们有 $Y = -x(x+1) = -x²-x$．

很明显，解决方案是 $\ \}{2, 1。\ _ \广场$

• 还有其他技术(事实，定义)可以用来解决问题吗?否则，请继续下面的内容。

• 3-4个例子，通过使用以上一种以上技术的混合解决

• 在中间添加指导文字。导向性文本是指用一种能不断告诉读者这部分内容的方式来表达这部分内容。

• 3-4 TIY问题-使用多种技术解决

所有实数的和是多少 $x$令人满意的 $X ^2-\√{X ^2} = \lvert X -1 \rvert +5?$

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观察到 $大概{x ^ 2} = \ \ \ rvert lvert x。$那么给定的方程就变成 $X ^2-\lvert X \rvert= \lvert X -1 \rvert +5。$

• 如果 $x < 0,$然后我们重写这个方程得到 $\{对齐}开始x ^ 2 - (- x) & = (x - 1) + 5 \ \ x ^ 2 + 2 x-6& = 0 \ \ x = 1 \ \ sqrt{7} \ \下午x = 1 - \ sqrt{7}。\qquad (\text{since} x<0) \end{aligned}$

• 如果 $0 \ le x < 1,$然后我们重写这个方程得到 $\{对齐}开始x ^ 2-x& = - x (x - 1) + 5 \ \ 6 \ \ x ^ 2 & = = \ \ sqrt{6},下午结束\{对齐}$哪些不满足假设 $0 \ leq x < 1。$因此在这个区间内没有解。

• 如果 $x \通用电气1,$然后我们重写这个方程得到 $\{对齐}开始x ^ 2-x& = x - 1 + 5 \ \ x ^ 2-2x-4& = 0 \ \ x = 1 \ \下午√{5}\ \ x = 1 + \ sqrt{5}。\qquad (\text{since} x\ge 1) \end{aligned}$

因此，上述三种情况给出了两种解 $x = 1 - \√{7}$而且 $x = 1 + \ sqrt {5},$它们的和是 $大概{5}\ \ sqrt{7}。$ $_ \广场$

[IMO 1959/2]解这个方程 $大概{x + \ \ sqrt {2 x - 1}} + \ sqrt {x - \ sqrt {2 x - 1}} =$真实的 $x$(其中平方根只定义为非负值)，当

• $= \ sqrt {2}$；
• $一个= 1$；
• $一个= 2$．

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在这里，我们没有看到方程中包含任何绝对值。在做任何事情之前，请注意我们的第一个限制 $x$是 $x \组\压裂{1}{2}$和 $一个$是 $> 0$．直观上，我们可以两边平方来消去一些平方根: $\{对齐}开始x + \ sqrt {2 x - 1} + x - \ sqrt {2 x - 1} + 2 \√{x ^ 2 - (2 x - 1)} & = ^ 2 \ \ 2 x + 2 \√{(x - 1) ^ 2} & = ^ 2。结束\{对齐}$太棒了!我们在平方根中找到一个完全平方，所以会出现一个绝对值: $2 x + 2 | x - 1 | = ^ 2。$现在我们要找出可能的情况 $一个$：

• 当 $x - 1 > 0$,我们有 $开始\{对齐}2 x + 2 (x - 1) & = ^ 2 \ \ x = \ dfrac{^ 2 + 2}{4}。结束\{对齐}$然后，根据我们的假设 $x - 1 > 0$，我们得到这个解只在 $^ 2 > 2$．

• 当 $x - 1 \ leq 0$，有趣的事情发生了: $\begin{aligned} 2x-2(x-1)&=A^2 \\ 2&=A^2。结束\{对齐}$

所以,当 $^ 2 = 2 \文本{或}= \√{2})$，方程独立于 $x$，表示区间的任意值 $左(x \ \ \压裂{1}{2},1 \]$是第一点的解。

当 $一个= 1$的限制下，没有解 $^ 2 \组的2$．

最后,当 $一个= 2$我们有 $x = \ dfrac{2 ^ 2 + 2}{4} = \压裂{3}{2}。\ _ \广场$

如果我们允许平方根允许负数会发生什么?

有时，在最小化问题中，它常常帮助我们看到绝对值内的表达式的值至少为0。