三维坐标几何-平面相交

在三维空间中两个平面之间有三种可能的关系;它们可以平行，相同的，也可能是相交．比较平面的法向量给我们提供了很多关于这两个平面之间关系的信息。如果法向量平行，这两个平面要么相同要么平行。如果法向量不平行，那么这两个平面相交成a线的交点也就是两个平面上的点的集合。下图描绘了两个相交的平面。

平行一个ngleBisector

求两个平面交点直线方程的方法是找到满足两个平面交点方程的点集。由于一个平面的方程由三个变量组成，我们得到两个方程(因为我们有两个平面)，解联立方程将给出三个变量之间的关系，这相当于交点线的方程。下面的示例演示了该过程是如何完成的。

求以下两个平面交点直线的方程:

${对齐}\ \开始α:x + y + z = 1 \ \ \测试:2 x + 3 y + 4 z = 5。结束\{对齐}$

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消除 $z$给了

$2 x = -y-1 \ qquad (1)$

和消除 $y$给了

$2 x = 2 z-4。\ qquad (2)$

因此，由(1)和(2)可得两个平面的交线方程 $\α$而且 $β\$是

$2x=-y-1=2z-4 \隐含x=\frac{y+1}{-2} = z-2。\ _ \广场$

下面做两个平面 $\α$而且 $β\$见面?

$\begin{aligned} \alpha: 2x + y - z &= 6 \\ \\ beta: -4x - 2y +2z &= -5 \end{aligned}$

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平面的法向量是 $\vec{n_{\alpha}}= (2,1， -1)$而且 $vec {n_ \{\β}}=(4、2、2),$分别。

自 $2 \ vec {n_{\α}}= \ vec {n_{\β}},$这两个平面的法向量是平行的，这意味着这两个平面 $\α$而且 $β\$要么平行，要么相同。

这一点 $(3, 0, 0)$在平面上 $\α$但不是 $\β,$这意味着这两架飞机不一样。因此，这两个平面是平行的，互不相交。 $_ \广场$

下面两个平面是什么情况 $\α$而且 $β\$见面吗?

$\begin{aligned} \alpha: 3x + ay -2z &= 5 \\ \beta: 6x + by -4z &= 3 \end{aligned}$

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两个平面的法向量 $\α$而且 $β\$是 $vec {n_ \{\α}}=(3一2)$而且 $vec {n_ \{\β}}= (6 b, 4),$分别。

注意,当 $b = 2,$这两个法向量是平行的。在这种情况下，因为 $2 \ times5 \ neq3,$这两个平面不是相同的，而是平行的。

由于三维空间中的两个平面总是相交的如果它们不平行，条件 $\α$而且 $β\$满足是 $b \ neq2a。$ $_ \广场$

下面两个平面的交点的方程是什么 $\α$而且 $\β?$

$\begin{aligned} \alpha: x-y+4z&=2 \\ \\ beta: x+2y-2z&=4 \end{aligned}$

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消除 $x$这两个方程相减得到

$6 z = 3 y 2。\ qquad (1)$

消除 $y$把第一个方程乘以2，然后把第二个方程相加

$6 z = 3 x + 8。\ qquad (2)$

因此，由(1)、(2)可得交点线方程为

$3 x z + 8 = 3 y 2 = 6。\ _ \广场$

周围的体积是多少 $xy$飞机, $yz$飞机, $xz$-plane和the plane $x + y + z = 4 ?$

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平行一个ngleBisector

这四个平面构成一个四面体，如图所示。

的 $x$-， $y$- - - - - -, $z$-拦截飞机 $x + y + z = 4$是 $= (4 0 0), B = (0 4 0),$而且 $C = (0, 0, 4),$分别。

因此,体积 $V$是四面体的

$\{对齐}开始V & ={基地面积})(\文本\ *{高度})(\文本\ * \压裂{1}{3}\ \ & = \离开(4 \ cdot4 \ cdot \压裂{1}{2}\)\乘以4 \ \压裂{1}{3}\ \ & = \压裂{32}{3}。\ _ \square \end{aligned}$