当我们知道一个平面上的三个点时,我们可以通过解联立方程来求出这个平面的方程。
让
一个x+by+cz+d=0为平面方程,平面上有以下三点:
一个=(1,0,2),B=(2,1,1),和
C=(−1,2,1).然后建立平面方程如下:
我们已经有了平面的方程有4个未知常数
一个x+by+cz+d=0.(1)
我们也可以通过代入坐标得到下面3个方程
一个,B,和
C成
(1):
一个⋅1+b⋅0+c⋅2+d一个⋅2+b⋅1+c⋅1+d一个⋅(−1)+b⋅2+c⋅1+d=0=0=0,
这给了
b=3.一个,c=4一个,d=−9一个.(2)
替换
(2)成
(1),我们有
一个x+3.一个y+4一个z−9一个x+3.y+4z−9=0=0.
因此,通过这三点的平面方程
一个=(1,0,2),B=(2,1,1),和
C=(−1,2,1)是
x+3.y+4z−9=0.
用这种方法,只要知道三个点,就可以求出平面的方程。下面是一些例子:
如果一个平面经过这三个点
一个=(0,0,2),B=(1,0,1),和
C=(3.,1,1),那么这个平面的方程是什么?
设平面方程为
一个x+by+cz+d=0.(1)
因为这个平面包含三个点
一个=(0,0,2),B=(1,0,1),和
C=(3.,1,1),我们有
一个⋅0+b⋅0+c⋅2+d一个⋅1+b⋅0+c⋅1+d一个⋅3.+b⋅1+c⋅1+d=0=0=0,
这给了
b=−2一个,c=一个,d=−2一个.(2)
替换
(2)成
(1),我们有
一个x+−2一个y+一个z−2一个x−2y+z−2=0=0.
因此,通过这三点的平面方程
一个=(0,0,2),B=(1,0,1)和
C=(3.,1,1)是
x−2y+z−2=0.□
如果一个平面经过这三个点
一个=(3.,1,2),B=(6,1,2),和
C=(0,2,0),那么这个平面的方程是什么?
设平面方程为
一个x+by+cz+d=0.(1)
因为这个平面包含三个点
一个=(0,0,2),B=(1,0,1),和
C=(3.,1,1),我们有
一个⋅3.+b⋅1+c⋅2+d一个⋅6+b⋅1+c⋅2+d一个⋅0+b⋅2+c⋅0+d=0=0=0,
这给了
一个=0,c=21b,d=−2b.(2)
替换
(2)成
(1),我们有
0x+−by+21bz−2bx−y+21z−22x−2y+z−4=0=0=0.
因此,通过这三点的平面方程
一个=(0,0,2),B=(1,0,1),和
C=(3.,1,1)是
2x−2y+z−4=0.□
试试下面的问题:
x=1
x+y=3.
y−x=1
以上都不是
求出通过的平面的方程
(1,2,3.)和
(1,−3.,2)平行于
z设在。