三维坐标几何-直线方程

为了求出二维平面上直线的方程，我们需要知道直线经过的点以及斜率。同样地，在三维空间中，如果我们知道直线经过的点，我们就可以得到直线的方程方向向量，表示直线的方向。公式如下:

带方向向量的直线方程 $vec {\ d} = (l, m, n)$它穿过这个点 $(x_1、y_1 z_1)$是由公式给出的

$l \压裂{x-x_1}{} = \压裂{y-y_1} {m} = \压裂{z-z_1} {n},$

在哪里 $l, m,$而且 $n$都是非零实数。 $_ \广场$

考虑一条经过该点的直线 $P = (x_1 y_1 z_1)$有方向向量 $vec {\ d} = (l, m, n),$在哪里 $l, m,$而且 $n$都是非零实数。让 $X = (X, y, z)$是直线上的一个随机点。然后向量 $vec {\ PX},$图中的红色箭头，将与哪个平行 $vec {\ d}。$因此我们有

$vec {PX} \开始{对齐}\ & = t vec {d} \ \ \ (x-x_1, y-y_1 z-z_1) & = t \ cdot (l, m, n) \ \ t = \压裂{x-x_1}{1} = \压裂{y-y_1} {m} = \压裂{z-z_1} {n}。结束\{对齐}$

因此，任何一点 $X = (X, y, z)$在直线上满足方程

$l \压裂{x-x_1}{} = \压裂{y-y_1} {m} = \压裂{z-z_1} {n}。\ _ \广场$

带方向向量的直线方程 $vec {\ d} = (l, m, 0)$它穿过这个点 $(x_1、y_1 z_1)$是由这两个公式给出的

$l \压裂{x-x_1}{} = \压裂{y-y_1} {m} \四\四z = z_1,$

在哪里 $l$而且 $米$都是非零实数。

这个证明和前面的很相似。

求带有方向向量的直线方程 $vec {\ d} =(1、2、3)$它穿过这个点 $P =(1,0, - 1)。$

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根据上面的公式，直线方程为

$x + 1 = \压裂{y}{2} = \压裂{z 1}{3}。\ _ \广场$

由于与坐标平面上的直线相似，当直线上有两个不同的点时，我们可以在三维空间中找到直线的方程，因为减去两点的位置向量就得到了方向向量。

求出经过这些点的直线的方程 $P =(1、2)$而且 $Q =(3 0 1)。$

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减去两点的位置向量得到方向向量，即

$vec {PQ vec {d} = \ \} =(6, 1, 1)。$

我们可以选择 $P$或 $问$作为 $(x_1、y_1 z_1)。$使用 $P$会给

$\压裂{3}{6}= y + 1 = - (z二)\ qquad (1)$

和使用 $问$会给

$\压裂{x + 3} {6} = y = - (z 1)。\ qquad (2)$

观察(2)两边加1得到(1)，这意味着两个方程是相同的。 $_ \广场$

如果方向向量的坐标等于0呢?假设 $x$方向向量的-坐标为零。这表明直线上的所有点都是相等的 $x$坐标。因此这种情况下的方程是这样的

${对齐}\ \开始压裂{y-y_1} {m} & = \压裂{z-z_1} {n} \ \ x = x_1。结束\{对齐}$

类似地，在方向向量的两个坐标为零的情况下(例如， $x$- - - $y$-coordinates)，方程是这样的

$\begin{aligned} x&=x_1\\ y&=y_1。结束\{对齐}$

求出经过这两点的直线的方程 $P = (1, 1, 1)$而且 $Q =(1, 1, 3)。$

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减去两点的位置向量得到方向向量，即

$vec {PQ vec {d} = \ \} =(2 0 2)。$

自 $y$方向向量的-坐标为零，方程为

${对齐}\ \开始压裂{x - 1}{2} & = \压裂{z 1} {2} \ \ y = 1 \ \ \ \ & \文本{或}\ \ \ \ \压裂{x + 1}{2} & = \压裂{z-3} {2} \ \ y = 1。\ _\方形\端{对齐}$

三维空间中两条不同的线之间的关系总是这三种关系之一:它们可以是平行的、倾斜的或相交于一点的。如果直线的方向向量是平行的，那么直线也是平行的(前提是它们不相同)。如果直线不相交，它们的方向向量不平行，那么它们就是歪斜的。如果直线相交，它们的方向向量不平行，那么直线相交于一点。如我们所见，比较方向向量通常能得到有关两条直线的有用信息。

下面两行是什么关系:

$\压裂{x - 2} {2} = y = \压裂{z + 1}{3}{和}\四\ \四\文本压裂{x + 7}{6} = - \压裂{y}{3} = \压裂{z + 1} {9} ?$

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这两条直线的方向向量是 $vec {d_1} \ = (2, 1, 3)$而且 $vec {d_2} \ =(6 3 9)。$自 $vec {d_1} = 3 \ \ vec {d_2},$这两个方向向量是平行的。这意味着这两条线要么相同要么平行。第一条直线经过的点是 $(2 0 1)。$由于该点不满足第二条直线的方程，所以第二条直线不经过该点。因此，这两条直线是平行的。 $_ \广场$