3D坐标几何 - 距离GyD.F4y2Ba

在3d几何中，GyD.F4y2Ba距离GyD.F4y2Ba两个物体之间是最短的长度GyD.F4y2Ba线段GyD.F4y2Ba连接;这类似于GyD.F4y2Ba二维定义GyD.F4y2Ba．GyD.F4y2Ba

在三维空间中，点是由它们沿直线的位置来表示的GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$- ，GyD.F4y2Ba $yGyD.F4y2Ba$-， 和GyD.F4y2Ba $Z.GyD.F4y2Ba$-axes，每个GyD.F4y2Ba垂直GyD.F4y2Ba彼此;这类似于GyD.F4y2Ba2D坐标几何GyD.F4y2Ba解释每个点仅由两个坐标表示（沿着GyD.F4y2Ba $XGyD.F4y2Ba$- - -GyD.F4y2Ba $yGyD.F4y2Ba$相互重合)。GyD.F4y2Ba

DK.GyD.F4y2Ba

在上图中，目标是找到距离点的距离GyD.F4y2Ba $\ left（x_ {1}，y_ {1}，z_ {1} \右）GyD.F4y2Ba$到目前为止GyD.F4y2Ba $\离开(间的{2},y_ {2}, z_{2} \右)。GyD.F4y2Ba$来自GyD.F4y2Ba距离公式GyD.F4y2Ba在两个维度中，黄线的长度是GyD.F4y2Ba

$\ sqrt {{（{x} _ {2} - {x} _ {1}）} ^ {2} + {（{y} _ {2} {-2 _ {1}）} ^ {2}}。GyD.F4y2Ba$

让GyD.F4y2Ba $D.GyD.F4y2Ba$是距离点的距离GyD.F4y2Ba $\ left（x_ {1}，y_ {1}，z_ {1} \右）GyD.F4y2Ba$到GyD.F4y2Ba $\ left（x_ {2}，y_ {2}，z_ {2} \右）GyD.F4y2Ba$（红线，所需的距离）。然后，使用GyD.F4y2Ba勾股定理GyD.F4y2Ba那GyD.F4y2Ba

$开始\{对齐}{d} ^{2}左& = \ \√{{({x} _ {2} - {x} _ {1})} ^ {2} + ({{y} _ {2} - {y} _{1})} ^{2}} \右)^ {2}+ {{z} _ {2} - {z} _ {1})} ^ {2} \ \ \ Rightarrow d = \√6 {{({x} _ {2} - {x} _ {1})} ^ {2} + ({{y} _ {2} - {y} _ {1})} ^ {2} + {{z} _ {2} - {z} _{1})} ^{2}}。\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

上述等式是3D空间中距离公式的一般形式。特殊情况是当初始点处于原点时，这将距离公式降低到表单中GyD.F4y2Ba

$d = \ sqrt {{{x}} ^ {2} + {{y}} ^ {2} + {{z}} ^ {2}}，GyD.F4y2Ba$

在哪里GyD.F4y2Ba $（x，y，z）GyD.F4y2Ba$是终点点。这个方程延伸了GyD.F4y2Ba距离公式GyD.F4y2Ba到3d空间。GyD.F4y2Ba

找到点之间的距离GyD.F4y2Ba $(2、5、7)GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $(3、4、5)。GyD.F4y2Ba$

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从距离公式，我们有GyD.F4y2Ba

$\ begin {senugented} d＆= \ sqrt {{（3-2）} ^ {2} + \ big（{4 - （ - 5）\ big）} ^ {2} + {（5-7）} ^ {2}} \\＆= \ sqrt {1 + 81 + 4} \\＆= \ sqrt {86}。\ _ \ square \ END {对齐}GyD.F4y2Ba$

重点有多远GyD.F4y2Ba $p =（3,4,5）GyD.F4y2Ba$来自起源？GyD.F4y2Ba

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由于第二点是起源，或者GyD.F4y2Ba $（0,0,0）GyD.F4y2Ba$，距离是GyD.F4y2Ba

$d = \ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2 + 5 ^ 2} = 5 \ sqrt {2}。\ _ \ squareGyD.F4y2Ba$

如果两点之间的距离GyD.F4y2Ba $（2,0,3）GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $（-4，a，-1）GyD.F4y2Ba$是8，什么是值GyD.F4y2Ba $一个吗?GyD.F4y2Ba$

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根据距离公式，GyD.F4y2Ba

$大概{\开始{对齐}d = \ \大(2 -(4)\大)^ 2 + (0 a) ^ 2 + \大(3 -(1)\大)^ 2}\ \ & = \ sqrt {36 + ^ 2 + 16} \ \ & = \ sqrt{52 + ^ 2} \ \ & = 8。\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

所以，GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} 52 + a ^ 2＆= 8 ^ 2 \\＆= 64 \\ a＆= \ pm2 \ sqrt {3}。\ _ \ square \ END {对齐}GyD.F4y2Ba$

确定一个点与平面之间的距离遵循类似的策略来确定GyD.F4y2Ba点与直线之间的距离GyD.F4y2Ba．考虑由等式定义的平面GyD.F4y2Ba

$Ax + by + cz + d = 0GyD.F4y2Ba$

和一个点GyD.F4y2Ba $（x_0，y_0，z_0）GyD.F4y2Ba$在太空中。然后正常GyD.F4y2Ba向量GyD.F4y2Ba飞机是GyD.F4y2Ba

$\ mathbf {v} = {pmatrix}开始\ \ \ b \ \ c \结束{pmatrix}GyD.F4y2Ba$

和飞机上任意点的矢量GyD.F4y2Ba $（x，y，z）GyD.F4y2Ba$关键是GyD.F4y2Ba

$\ mathbf {w} = \ begin {pmatrix} x_0-x \\ y_0-y \\ z_0-z \ neg {pmatrix}。GyD.F4y2Ba$

从点到平面的距离是GyD.F4y2Ba投影GyD.F4y2Ba从GyD.F4y2Ba $w \ mathbf {}GyD.F4y2Ba$到GyD.F4y2Ba $v \ mathbf {}GyD.F4y2Ba$， 要么GyD.F4y2Ba

$\ begin {对齐} d＆= | \ text {proj} _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {w} |\\＆= \ frac {| \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w} |} {| \ mathbf {v} |} \\＆= \ frac {| a（x_0-x）+ b（y_0-y）+ c（z_0-z）|} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} \\＆= \ frac {| ax_0 + by_0 + cz_0-（ax + by + cz）|{\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}} \\＆= \ frac {| ax_0 + by_0 + cz_0 + d |} {\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2}}。\结束{对齐}GyD.F4y2Ba$

确定2个歪斜线之间距离的策略是找到通过每条线的两个平行平面;这是因为两个平面之间的距离易于计算使用矢量GyD.F4y2Ba投影GyD.F4y2Ba．此外，正常GyD.F4y2Ba向量GyD.F4y2Ba对于这2个平面可以使用该2个平面计算GyD.F4y2Ba交叉产品GyD.F4y2Ba载体代表两条线的方向。GyD.F4y2Ba

特别地，假设两条直线沿这个方向运动GyD.F4y2Ba

$\ begin {aligned} \ mathbf {v}＆= \ begin {pmatrix} x_1＆y_1＆z_1 \ neg {pmatrix} \\ \ mathbf {w}＆= \ begin {pmatrix} x_2＆y_2＆z_2 \ neg {pmatrix}，\ neg {secondleded}GyD.F4y2Ba$

那么平面的法线可以计算为GyD.F4y2Ba

$v \ mathbf {n} = \ mathbf {} \ * \ mathbf {w} ={侦破}\文本\开始{pmatrix} \{我}和{j} \帽子帽子帽子& \ {k} \ \ x_1&y_1&z_1 \ \ x_2&y_2&z_2 \ {pmatrix}结束GyD.F4y2Ba$

两个平面之间的距离，也就是两条线之间的距离，可以通过投影来计算GyD.F4y2Ba $\ mathbf {n}GyD.F4y2Ba$到GyD.F4y2Ba $PQ.GyD.F4y2Ba$， 在哪里GyD.F4y2Ba $P.GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $问：GyD.F4y2Ba$分别是第一和第二行的点。GyD.F4y2Ba

求直线之间的距离GyD.F4y2Ba

$\ frac {x + 2} {2} = \ frac {y-1} {3} = \ frac {z} {1} \ quad \ text {and} \ quad \ frac {x-3} { - 1}= \ frac {y} {1} = \ frac {z + 1} {2}。GyD.F4y2Ba$

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按照上面的策略，第一行沿着这个方向移动GyD.F4y2Ba

$\ mathbf {v} = \ begin {pmatrix} 2和3＆1 \ neg {pmatrix}GyD.F4y2Ba$

和第二个方向GyD.F4y2Ba

$\ mathbf {w} = \ begin {pmatrix} -1和1＆2 \ neg {pmatrix}。GyD.F4y2Ba$

然后GyD.F4y2Ba

$\ mathbf {n} = \ mathbf {v} \ times \ mathbf {w} = \ text {det} \ begin {pmatrix} \ hat {i}＆\ hat {j}＆\ hat {k} \\ 2＆3＆1 \\ -1＆1＆2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 5＆-5和5 \结束{pmatrix}。GyD.F4y2Ba$

自GyD.F4y2Ba $（-2,1,0）GyD.F4y2Ba$和GyD.F4y2Ba $（3,0，-1）GyD.F4y2Ba$分别是两条线，分别为载体GyD.F4y2Ba $PQ.GyD.F4y2Ba$是GyD.F4y2Ba $结束\ {pmatrix}开始5 &-1&-1 \ {pmatrix}GyD.F4y2Ba$．然后GyD.F4y2Ba

$d = \ big | \ text {proj} _ {\ mathbf {n}} pq \ big | = \ frac {\ big | \ mathbf {n} \ cdot pq \ big |} {| \ mathbf {n} |}= \ frac {25} {5 \ sqrt {3}} = \ frac {5 \ sqrt {3}}}}}}} {3}。\ _ \ squareGyD.F4y2Ba$

• 距离公式GyD.F4y2Ba
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