几何概率

几何概率是一种处理无穷结果问题的工具，通过几何上测量结果的数量，以长度、面积或体积为单位。在基本概率中，我们通常会遇到“离散的”问题(例如掷骰子的结果;看到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/uniform-probability/" class="wiki_link" title="概率的结果" target="_blank">概率的结果更多信息)。然而，一些最有趣的问题涉及“连续的”变量(例如，您的公共汽车到达的时间)。

处理连续变量可能是棘手的，但是几何概率提供了一种有用的方法，它允许我们将概率问题转化为几何问题。如果这听起来令人惊讶，看看下面的问题:

你的公共汽车在中午12点到下午1点之间随意来。如果你在中午12点半到，你有多大可能赶上公共汽车?

直觉上，答案似乎是这样的<年代p一个n class="katex"> $\压裂{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ．我们可以通过考虑在一维数轴上随机选择一个点来几何上说明这一点:下午12:30到1点之间的数轴长度等于下午12点到12:30的长度。

虽然这个例子相当简单，但许多复杂的问题都可以通过几何概率来简单地解决。在这一页，我们将从1D的例子开始，这是最简单和容易理解的，然后我们的方式到2D, 3D，和更高的维度。

简介

的主要思想之一<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/uniform-probability/" class="wiki_link" title="概率" target="_blank">概率就是计算等可能的“期望”结果的数量，然后除以等可能的总结果的数量:

$P(X) = \frac{\mbox{期望结果}}{\mbox{总结果}}。$

然而，当一个变量是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-random-variables-definition/" class="wiki_link" title="连续" target="_blank">连续那么，传统意义上的“计算”结果就不可能了。例如,如果<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 是0到1之间的随机实数吗<年代p一个n class="katex"> $0.2$ $0 ． 2$ 或<年代p一个n class="katex"> $0.53$ $0 ． 5 3.$ 或<年代p一个n class="katex"> $0.434662565465465$ $0 ． 4 3. 4662565465465$ 甚至是一些非理性的东西<年代p一个n class="katex"> $\压裂{\π}{4}。$ $\frac{π}{4} ．$ 很明显，如果我们用传统的方法计算，结果是无限的。

维几何概率

我们再来看看这种情况<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 是一个随机实数，如介绍部分所述。

$X$ 是0到3之间的随机实数。概率是多少<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 比1更接近0吗?

的值有无限多种可能的结果<年代p一个n class="katex"> $X,$ $X ，$ 我们将把等可能的结果作为数轴上从0到3的随机点。这很容易看出来<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 会比1更接近0吗<年代p一个n class="katex"> $X < 0.5。$ $X < 0 ． 5 ．$

概率线

现在，我们可以使用可能结果的度量(在一维情况下是长度)，并应用通常的概率公式。在这里,

$P(X\text{更接近于0而不是1})= \frac{\mbox{段长度where}0$

重申一下，一维几何概率的核心思想是将概率问题转化为数轴上的几何问题，在数轴上我们用长度．为了确保你已经理解了这个概念，尝试一下与舍入错误相关的问题:

为什么这是一个更高级的话题，它涉及到<年代trong>测度理论．测度理论为概率论提供了一个严格的框架，包括有限集上的概率。度量理论也是微积分中积分背后的关键思想，它可以用来用“标准”方法求出看起来不可积的函数的积分。这两个概念并不是不相关的，因为在基本层面上，概率论只是积分的一个特例。

我们还会做一些高维几何概率的例子来更好地理解这个概念。使用图形来帮助理解和解决这些类型的问题通常是有帮助的。

二维几何概率

很多概率问题包含不止一个变量，所以一维几何概率是不够的。对于两个变量的问题，通常将其转化为二维几何概率问题是很有帮助的，在二维几何概率问题中，结果用<年代trong>区域：

$P(X) = \dfrac{\text{期望结果的区域}}{\text{总结果的区域}}。$

当问题明确是一个2D几何问题时，这是最容易理解的:

飞镖被扔向圆靶，这样它就会随机地落在靶区的上空。它落在更靠近中心而不是边缘的概率是多少?

结果的集合是圆靶上的所有点，它们组成了一个面积<年代p一个n class="katex"> $\πr ^ 2$ $π r^{2}$ 在哪里<年代p一个n class="katex"> $r$ $r$ 是圆的半径。靠近圆心的点比靠近边缘的点是半径圆内的点<年代p一个n class="katex"> $r \压裂{}{2}$ $\frac{r}{2}$ 围绕中心，所以“成功”结果的面积是<年代p一个n class="katex"> $左(\ \π\压裂{r}{2} \右)^ 2 = \压裂{\πr ^ 2}{4}。$ $π （ \frac{r}{2} ）^{2} ＝ \frac{π r ^{2}}{4} ．$

因此,

$P(\text{更接近中心比边缘})= \dfrac{\text{期望结果的区域}}{\text{总结果的区域}}= \frac{\frac{\pi r^2}{4}}{\pi r^2} = \frac{1}{4} = 25\%。\ _ \广场$

一个正方形<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ 边长30。一个标准的20面骰子被滚动，和一个正方形<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 内部构造<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ 边长等于卷的长度。然后，投掷飞镖并随机落在方块中的某个地方<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ ．飞镖落在正方形内的概率是多少<年代p一个n class="katex"> $T ?$ $T ?$

假设骰子滚动<年代p一个n class="katex"> $我$ $我$ ．那么飞镖落在正方形内的概率<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 面积之比是正方形吗<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 平方的面积<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ ．这是<年代p一个n class="katex"> $\压裂{i ^ 2} {900}$ $\frac{我 ^{2}}{9 0 0}$ ．为每一个<年代p一个n class="katex"> $我$ $我$ ，骰子滚动的概率<年代p一个n class="katex"> $我$ $我$ 是<年代p一个n class="katex"> $\压裂{1}{20},$ $\frac{1}{2 0} ，$ 所以飞镖落在里面的概率<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 将

$\ \和limits_ {i = 1} ^{20} \压裂{1}{20}\ cdot \压裂{i ^ 2}{900} = \压裂{1}{20}\ cdot \压裂{20 \ * 21 \ * 41}{900 \ * 6}= \压裂{287}{1800}。\ _ \广场$

与几何概率相关的困难通常来自两个方面之一:第一个是找到一种好的方法对问题进行几何建模，第二个是试图确定特定区域的面积/体积，以便计算相对概率。在有限概率中，有时求补的概率更简单。

为了确保你已经掌握了二维几何概率的基本概念，试试这个类似的问题。请注意，许多2D几何问题，例如下面的一个，使用复合图的思想。如果你不熟悉这个概念，你可能想看一看<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/composite-figures/" class="wiki_link" title="综合数据" target="_blank">综合数据第一。

然而，几何概率最强大的用途之一是将它应用到固有的非几何问题中。确定何时以及如何使用几何概率从来不是显而易见的，但一个好迹象是，您正在处理概率在连续变量的情况下。让我们看一看本wiki开头提到的经过修改的总线问题示例。

公共汽车和你到达车站的时间都是在下午12点到1点之间的随机时间。当公共汽车到达时，它在离开前等5分钟。当你到达时，如果公共汽车没来，你要等20分钟再离开。你赶上公共汽车的概率是多少?

这里有两个连续变量<年代p一个n class="katex"> $b,$ $b ，$ 下午12点过几分钟巴士到达的时间<年代p一个n class="katex"> $y,$ $y ，$ 你到达的时间是12点过几分钟。由于有两个自变量，我们将它转化为一个二维几何问题。具体来说，我们可以把所有结果的集合想象成正方形中的点:<年代p一个n class="image-caption center">然后，我们需要确定“成功”的区域;也就是我们赶上公共汽车的地方。因为公共汽车会等5分钟，你需要在公共汽车到达的5分钟内到达，否则<年代p一个n class="katex"> $y \ b + 5:$ $y \leq b + 5 ：$

但是，你只等了20分钟，所以你不可能比公交车早20分钟到达，所以<年代p一个n class="katex"> $y \通用电气b20):$ $y \geq b - 20 ：$ 结合我们的两个条件，我们有一个成功的区域如下所示:<年代p一个n class="image-caption center">现在，我们只需要求出这个成功区域的面积。一个简单的方法是求出非成功区域的面积，然后从总面积中减去它:<年代p一个n class="image-caption center">因此，赶上公共汽车的概率为

$P(\text{抓总线})= \dfrac{\text{期望结果区域}}{\text{总结果区域}}= \frac{60^2 -\frac{55^2}{2}-\frac{40^2}{2}}{60^2} = \frac{103}{288} \approx 36\%。\ _ \广场$

现在我们已经把问题变成了一个几何问题，我们可以很容易地回答关于这种情况的其他问题，例如:

1)公交车不用等你的概率是多少?
2）如果你能赶上公共汽车，你必须等不到10分钟的概率是多少?
3.．）在你没能上车的情况下，公共汽车在你之前到达和离开的概率是多少?

为了实践这些想法，让我们尝试一个类似的问题:

三维几何概率

在这一点上，您可能可以猜到它的走向!三维几何概率是当我们处理三个连续变量时，我们测量体积各种结果的;也就是说,

$P(X) = \dfrac{\text{期望结果的数量}}{\text{总结果的数量}}。$

首先，让我们看一个类似于我们在二维几何概率部分中解决的第一个问题的例子。

一个原子在一个球内，它在球内的任何地方都是同样可能的。它落在离球中心更近的地方的概率是多少?

结果的集合是球面上的所有点，它们组成了一个体积<年代p一个n class="katex"> $4 \ \压裂{π}{3}r ^ 3$ $\frac{4 π}{3.} r^{3.}$ 在哪里<年代p一个n class="katex"> $r$ $r$ 是球面的半径。靠近圆心的点比靠近边缘的点是半径球内的点<年代p一个n class="katex"> $r \压裂{}{2}$ $\frac{r}{2}$ 围绕中心，所以“成功”结果的体积是<年代p一个n class="katex"> $4 \ \压裂{π}{3}\离开(\压裂{r}{2} \右)^ 3 = \压裂{\π}{6}r ^ 3。$ $\frac{4 π}{3.} （ \frac{r}{2} ）^{3.} ＝ \frac{π}{6} r^{3.} ．$ 因此,

$P(\text{靠近中心比外面})= \dfrac{\text{期望产出量}}{\text{总产出量}}= \frac{\frac{\pi}{6}r^3}{\frac{4\pi}{3} r^3} = \frac{1}{8} = 12.5\%。\ _ \广场$

当然，并不是所有的问题本质上都是如此明显的几何问题。和往常一样，我们可能想要应用几何概率的标志之一是我们在处理连续变量。让我们看看如何处理下面的例子:

亚历克斯、鲍勃和查理每人在0到1之间随机选择一个实数。它们的平方和不超过1的概率是多少?

首先，如果我们让他们的3号<年代p一个n class="katex"> $x,$ $x ，$ $y,$ 而且<年代p一个n class="katex"> $z,$ $z ，$ 很容易看出，结果可以表示为单位立方体中的点<年代p一个n class="katex"> $\大($ $（$ 包围区域的立方体<年代p一个n class="katex"> $x, y, z \[0, 1] \大),$ $x ， y ， z \in ［ 0 ， 1 ］），$ 有体积<年代p一个n class="katex"> $1 ^ 3 = 1。$ $1^{3.} ＝ 1 ．$

那么，它们的平方和不超过1的区域由<年代p一个n class="katex"> $x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 \勒1,$ $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 1 ，$ 以原点为圆心，半径为1的球体是哪个(没有限制)<年代p一个n class="katex"> $(0, 0, 0)。$ $（ 0 ， 0 ， 0 ）．$ 然而,由于<年代p一个n class="katex"> $通用电气0,x, y, z \$ $x ， y ， z \geq 0 ，$ 完全<年代p一个n class="katex"> $左(\ \压裂{1}{2}\右)^ 3 = \压裂{1}{8}$ $（ \frac{1}{2} ）^{3.} ＝ \frac{1}{8}$ 这个球体(一个“八分之一”)位于可能结果的单位立方体中。因此，这个“成功”区域的体积为<年代p一个n class="katex"> $\压裂{1}{8}\ cdot \离开(\压裂{4 \π}{3}\ cdot 1 ^ 3 \右)= \压裂{\π}{6}。$ $\frac{1}{8} \cdot （ \frac{4 π}{3.} \cdot 1^{3.} ）＝ \frac{π}{6} ．$

因此,

$P(\text{平方和不超过1})= \dfrac{\text{期望结果的体积}}{\text{总结果的体积}}= \frac{\frac{\pi}{6}}{1} = \frac{\pi}{6} = 52\%。\ _ \广场$

如果你想测试一下将概率问题转化为3D几何问题的技能，不妨尝试一下这个类似于上面例子的具有挑战性的问题:

应用程序

几何概率除了是解决数学问题的有用工具外，还可以应用于其他科学领域。让我们从一个力学的例子开始，用的是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/velocity-and-acceleration-problem-solving-easy/" class="wiki_link" title="速度和加速度" target="_blank">速度和加速度．

我们在下面的桌子上玩沙狐球，区域的长度标注在下面(以米为单位)。

你以初始速度推动冰球<年代p一个n class="katex"> $v,$ $v ，$ 在哪里<年代p一个n class="katex"> $v$ $v$ 在5到15米/秒之间随机选择。由于球台是粗糙的，冰球以恒定的速度5米/秒减速<年代p一个n class="katex"> $^ 2。$ $^{2} ．$ 把冰球从桌子上滑下去的概率是多少?(你可能会认为冰球小得可以忽略不计。)

在这个问题中，我们只有一个变量——冰球的初始速度——所以这将是一个一维的几何问题。回想一下运动学公式<年代p一个n class="katex"> $V_ {f} ^{2} = V_ {i}^{2} + 2 a s$ $v_{f}^{2} ＝ v_{我}^{2} + 2 一个年代$ ．最后的速度<年代p一个n class="katex"> $v_ {f}$ $v_{f}$ 是零，因为冰球静止了。最初的速度<年代p一个n class="katex"> $v_ {i} = v$ $v_{我} ＝ v$ ．的距离<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ 将决定我们能得多少分。代入值之后，我们得到

$S = {v^{2}}{10}，$

所以<年代p一个n class="katex"> $年代> 8 + 4 + 2 + 1 = 15$ $年代 > 8 + 4 + 2 + 1 ＝ 15$ 发生在<年代p一个n class="katex"> $v > \ sqrt{150}。$ $v > 150 ．$ 如果我们想到<年代p一个n class="katex"> $v$ $v$ 作为5到15之间的数轴上的一个点，我们可以求出概率为

$\压裂{15 - \ sqrt{150}}{今天}\大约28 \ %。\ _ \广场$

太棒了!谁能想到几何概率会让我们解决一个物理问题?让我们再看几个例子。

块随时间周期进行简谐运动<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 和最大速度<年代p一个n class="katex"> $v$ $v$ ．块的速度是随机测量的。被测速度大于的概率是多少<年代p一个n class="katex"> $\压裂v2吗?$ $\frac{v}{2} ?$

让我们画出方块的位置(浅灰色)和速度(灰色)。

因为我们感兴趣的是相对的价值，具体的垂直缩放的plot并不重要。绿色的时间间隔表示我们进行正测量的时间，即被测速度或速度的绝对值将超过这个时间<年代p一个n class="katex"> $\压裂v2$ $\frac{v}{2}$ ．这些间隔<年代p一个n class="katex"> $\左(k \pi + \frac{\pi}6, k \pi + 5 \cdot \frac{\pi}6\右)$ $（ k π + \frac{π}{6} ， k π + 5 \cdot \frac{π}{6} ）$ 对于任何整数<年代p一个n class="katex"> $k$ $k$ ，自开始第一个绿色间隔距离纵轴为时间<年代p一个n class="katex"> $t$ $t$ 的<年代p一个n class="katex"> $-罪\ {t} = \ frac12$ $- 罪 t ＝ - \frac{1}{2}$ ,所以<年代p一个n class="katex"> $t = \压裂{\π}6$ $t ＝ \frac{π}{6}$ ．由于运动是周期性的，而且测量可以在任何时间以等概率发生，我们可以认为正测量的概率是

$\压裂{N \ * 2 \离开(5 \ cdot \压裂{\π}6 - 6 \压裂{\π}\右)}{N \ * 2 \π}= \压裂{2}{3},$

系统在哪里<年代p一个n class="katex"> $N$ $N$ 期。<年代p一个n class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

约翰内斯·开普勒发现，所有的行星都是以太阳为焦点的椭圆轨道围绕太阳旋转。他还推断出行星以恒定的面积速度围绕太阳旋转。

让我们模拟一个小的恒星系统，其中一颗行星以椭圆轨道围绕恒星旋转。它有半长轴<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ 和长半轴<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ ．在一次公转中，行星的最小速度是<年代p一个n class="katex"> $u$ $u$ 最大速度是<年代p一个n class="katex"> $v$ $v$ ．在一个完全的旋转中，一个瞬间的时间是随机和均匀地选择的。此时行星到恒星的距离大于的概率是多少<年代p一个n class="katex"> $b ?$ $b ?$

开普勒观察到，行星绕太阳运行的速度并不一致，而是当它们靠近太阳时移动得更快，当它们远离太阳时移动得更慢。他特别确定了行星的轨道速度是这样的:从太阳到行星的直线在相等的时间间隔内扫过相等的区域。这意味着行星在遥远位置停留的时间与线在这些位置扫过的面积成正比。我们的概率是

$\ mathbb大P{} \[(\文本{测量距离})> b \]大= \压裂{{时间花在距离})(\文本> b}{{时间})(\文本}= \压裂{一}{A_0} = \压裂{一}{\ \π\,b},$

在哪里<年代p一个n class="katex"> $A_0$ $一个_{0}$ 椭圆的面积和<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ 是太阳-行星半径矢量在行星远离时扫过的未知区域。问题就变成了找到这个区域:

我们在笛卡尔坐标下画出轨道<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ 而且<年代p一个n class="katex"> $y$ $y$ 以半轴为单位<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ ．让轴比<年代p一个n class="katex"> $\μ= \压裂英航$ $μ ＝ \frac{b}{一个}$ ,<年代p一个n class="katex"> $\μ= 0.6$ $μ ＝ 0 ． 6$ 如上图所示。太阳在焦点的左边<年代p一个n class="katex"> $年代$ $年代$ 与坐标<年代p一个n class="katex"> $\big(-\√{a^2 - b^2}， 0\big)。$ $（ - 一个^{2} - b^{2} ， 0 ）．$ 画一个有半径的圆<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ 以太阳为中心，找到与椭圆的交点<年代p一个n class="katex"> $P$ $P$ 与坐标<年代p一个n class="katex"> $大概{\离开(——\ \ \压裂{a - b} {a + b}}, \√6{\压裂{2 \ b ^ 3} {a + b}} \右)。$ $（ - 一个 \frac{一个 - b}{一个 + b} ， \frac{2 b ^{3.}}{一个 + b} ）．$ 下面分别写出椭圆和圆的方程:

${对齐}\ \开始离开(\压裂{x}{} \右)^ 2 + \离开(\压裂{y} {b} \右)^ 2 & = 1 \ \ (x + c) ^ 2 + y ^ 2 b & = ^ 2 \{对齐}结束$

与<年代p一个n class="katex"> $C = \√{a^2 - b^2}$ $c ＝一个^{2} - b^{2}$ ，并通过寻找点<年代p一个n class="katex"> $P$ $P$ 曲线的交点。我们将自然地通过从椭圆的上分支积分来划分面积的计算<年代p一个n class="katex"> $x$ $x$ 协调的<年代p一个n class="katex"> $P$ $P$ ，加上三角形的面积<年代p一个n class="katex"> $P S$ $P 年代问$ ．图中显示了用不同深浅的绿色划分的区域:

$\开始{对齐}& = 2 \ \境(\压裂{1}{2}\ cdot \左c - \ \√{\压裂{A - b} {A + b}} \) \ cdot \√6{\压裂{2 \ b ^ 3} {A + b}} + b \ \ int_ {x_1} ^ {x_2} \√6{1 - \离开(\压裂{x}{} \右)^ 2}\,dx \境)\ \ & = \压裂{1}{2}+ \压裂{1}{\π}\ cdot \左\√{2 \ \μ\(1 - \μ)}+ \ arcsin{\√6{\压裂{1 - \μ}{1 + \μ}}}\右)。结束\{对齐}$

我们集成<年代p一个n class="katex"> $X_1 = -a \， \sqrt{\frac{a - b}{a + b}}$ $x_{1} ＝ - 一个 \frac{一个 - b}{一个 + b}$ 来<年代p一个n class="katex"> $x_2 =一个$ $x_{2} ＝一个$ ．下图是用轴比表示的结果概率图<年代p一个n class="katex"> $\μ$ $μ$ ．与<年代p一个n class="katex"> $\μ= 0.6$ $μ ＝ 0 ． 6$ 找到比地球更远的行星的概率<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ 约为89%。<年代p一个n class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

由于轨道的偏心距接近于零，椭圆的时间大大延长，在太阳附近发现行星的机会很小，因为1)轨道的主要部分离太阳较远，2)当行星靠近太阳时，其速度较大，因此访问时间较短。另一方面，当离心率接近1时，椭圆接近圆，行星的轨道速度近似恒定，这意味着行星大约有一半的时间在小于<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ ，而且有一半的时间距离更远。这可以在下面的动画中看到轴比<年代p一个n class="katex"> $\μ$ $μ$ 之间摇摆<年代p一个n class="katex"> $0.2$ $0 ． 2$ 而且<年代p一个n class="katex"> $0.99$ $0 ． 99$ ．

警告:想象一下理想的情况<年代p一个n class="katex"> $b =一个$ $b ＝一个$ 一个完美的圆。如果一颗行星以恒定的距离绕太阳运行<年代p一个n class="katex"> $b,$ $b ，$ 我们肯定无法测量它的距离超过<年代p一个n class="katex"> $b$ $b$ ．但上述结果表明，机会应该是相等的。你怎么解释呢?

额外的挑战

几何概率中存在着许多重大的问题。如果你想要一些额外的挑战，看看这些问题。如果你想为这个维基撰稿，你可以在其中一个例子中添加解决方案!

两个数字是随机和一致地从<年代p一个n class="katex"> $(——)$ $［ - 一个，一个］$ ．较小数的绝对值大于较大数绝对值的两倍的概率是多少?最终的答案取决于的值吗<年代p一个n class="katex"> $一个吗?$ $一个 ?$

让<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 而且<年代p一个n class="katex"> $Y$ $Y$ 表示这两个随机数。的机会<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 是小于<年代p一个n class="katex"> $Y$ $Y$ 扯平了，好让我们专注于案子吗<年代p一个n class="katex"> $X < Y$ $X < Y$ ．我们的概率是

$\ mathbb P{} \大(X | | > 2 \ cdot Y | | \大)= \压裂{^ 2}{2}:\压裂{(2)^ 2}{2}= \压裂{1}{4}。$

概率表达式包含两个绝对值，因此根据变量的符号分为四种情况:

我)<年代p一个n class="katex"> $(X < 0) \land (Y > 0)$ $（ X < 0 ） \land （ Y > 0 ）$

(二)<年代p一个n class="katex"> $(X < 0) \land (Y < 0)$ $（ X < 0 ） \land （ Y < 0 ）$

3)<年代p一个n class="katex"> $(X > 0) \land (Y > 0)$ $（ X > 0 ） \land （ Y > 0 ）$

(四)<年代p一个n class="katex"> $(X > 0) \land (Y < 0)$ $（ X > 0 ） \land （ Y < 0 ）$ ．

后两个的解，连同开始的假设，都是空集。前两种情况的并集在下图中有阴影。注意我们把正方形的面积除以一半<年代p一个n class="katex"> $2 \ cdot ^ 2$ $2 \cdot 一个^{2}$ ，因为我们开始将概率空间缩小到直线上方的区域<年代p一个n class="katex"> $X = Y$ $X ＝ Y$ ．还要注意，答案并不包含<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ 这样它就会保持不变只要我们从某个公共区间取两个变量。<年代p一个n class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

在圆周上随机均匀地选取两点。圆心和这两点连在一起。我们得到以下每一个的概率是多少?

$\begin{array}{rrl} &\text{i)} &\text{线段}\\ &\text{ii)} &\text{锐角三角形}\\ &\text{iii)} &\text{直角三角形}\\ &\text{iv)} &\text{钝角三角形}\end{array}$

我们可以假设这两点<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ 而且<年代p一个n class="katex"> $B$ $B$ 都是独立选择的，所以我们可以在不丧失一般性的情况下，选择和放置<年代p一个n class="katex"> $B$ $B$ 相对来<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ ．

我)答:<年代p一个n class="katex"> $0$ $0$ ．为什么?线段会出现在<年代p一个n class="katex"> $B$ $B$ 被放置在一个精确的角度<年代p一个n class="katex"> $\π$ $π$ 来<年代p一个n class="katex"> $一个$ $一个$ ．但是一个连续变量不可能得到一个特定的值(一个点的宽度是多少?)

(二)答案:<年代p一个n class="katex"> $\压裂{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ．为什么?三角形是锐角，如果<年代p一个n class="katex"> $B$ $B$ 在间隔中以某种角度放置<年代p一个n class="katex"> $大\[- \压裂{\π}{2}\压裂{\π}{2}\]大$ $［ - \frac{π}{2} ， \frac{π}{2} ］$ ．值<年代p一个n class="katex"> $- \压裂{\π}{2}$ $- \frac{π}{2}$ 而且<年代p一个n class="katex"> $\压裂{\π}{2}$ $\frac{π}{2}$ (这样的三角关系就是直角的),<年代p一个n class="katex"> $0$ $0$ （简并)应该被排除，然而，一些特定的离散值不会改变概率。

3)答:<年代p一个n class="katex"> $0$ $0$ ．为什么?见上图。

(四)答案:<年代p一个n class="katex"> $\压裂{1}{2}$ $\frac{1}{2}$ ．为什么?三角形可以是锐角也可以是钝角，概率是相等的。<年代p一个n class="katex"> $_ \广场$ $_{□}$

从圆的内部随机均匀地选取两点。圆心和这两点连在一起。我们得到以下每一个的概率是多少?

$\begin{array}{rrl} &\text{i)} &\text{线段}\\ &\text{ii)} &\text{锐角三角形}\\ &\text{iii)} &\text{直角三角形}\\ &\text{iv)} &\text{钝角三角形}\end{array}$

推荐的课程

应用概率

小测验

有关……

你的公共汽车在中午12点到下午1点之间随意来。如果你在中午12点半到，你有多大可能赶上公共汽车?

内容

X X X是0到3之间的随机实数。概率是多少<年代p一个n class="katex"> X X X比1更接近0吗?

飞镖被扔向圆靶，这样它就会随机地落在靶区的上空。它落在更靠近中心而不是边缘的概率是多少?

我们在下面的桌子上玩沙狐球，区域的长度标注在下面(以米为单位)。

块随时间周期进行简谐运动<年代p一个n class="katex"> T T T和最大速度<年代p一个n class="katex"> v v v．块的速度是随机测量的。被测速度大于的概率是多少<年代p一个n class="katex"> v 2 ? \压裂v2吗? 2v?

掌握这些概念

$X$ 是0到3之间的随机实数。概率是多少<年代p一个n class="katex"> $X$ $X$ 比1更接近0吗?

块随时间周期进行简谐运动<年代p一个n class="katex"> $T$ $T$ 和最大速度<年代p一个n class="katex"> $v$ $v$ ．块的速度是随机测量的。被测速度大于的概率是多少<年代p一个n class="katex"> $\压裂v2吗?$ $\frac{v}{2} ?$